Calcule o determinante da matriz:
14a) A=(ccccos (x) & -sin (x) & 0 sin (x) & cos (x) & 0 0 & 0 & 1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o determinante da matriz . Essa matriz é uma matriz 3x3 que envolve funções trigonométricas como cosseno e seno. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular determinantes de matrizes 3x3 e entender um pouquinho sobre essas funções trigonométricas que estão na matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o determinante de uma matriz 3x3. Uma maneira simples é usar a regra de Sarrus ou a regra de expansão por menores. Vamos usar a regra de Sarrus aqui porque é bem direta.
A regra de Sarrus diz que para uma matriz:
a & b & c d & e & f g & h & i
O determinante é calculado assim:
det(A) = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa regra na nossa matriz A = cos(x) & -sin(x) & 0 sin(x) & cos(x) & 0 0 & 0 & 1 :
a = cos(x), b = -sin(x), c = 0 d = sin(x), e = cos(x), f = 0 g = 0, h = 0, i = 1
Identificando os elementos:

Passo 4

Agora, substituindo esses valores na fórmula do determinante:
det(A) = (cos(x) cdot cos(x) cdot 1) + (-sin(x) cdot 0 cdot 0) + (0 cdot sin(x) cdot 0) - (0 cdot cos(x) cdot 0) - (-sin(x) cdot sin(x) cdot 1) - (cos(x) cdot 0 cdot 0)

Passo 5

Simplificando cada termo:
det(A) = cos^2(x) + 0 + 0 - 0 - (-sin^2(x)) - 0 = cos^2(x) + sin^2(x)

Passo 6

Agora, lembrando a identidade trigonométrica básica:
cos^2(x) + sin^2(x) = 1

Resposta

Portanto, o determinante da matriz é .

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