Utilize o escalonamento para obter, caso exista, a solução dos seguintes sistemas lineares:
10a) x+y+2 z & =8 x-2 y+3 z & =1 3 x-7 y+4 z & =10

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o escalonamento, que é uma técnica de álgebra linear para encontrar soluções de sistemas lineares. Nosso sistema é:
x + y + 2z = 8 x - 2y + 3z = 1 3x - 7y + 4z = 10
Para resolver, vamos transformar esse sistema em uma matriz aumentada e então realizar operações para chegar à solução.

Passo 2

Primeiro, colocamos o sistema em forma de matriz aumentada:
1 & 1 & 2 & | & 8 1 & -2 & 3 & | & 1 3 & -7 & 4 & | & 10
Cada linha representa uma equação, e as colunas representam os coeficientes das variáveis , , e o termo constante.

Passo 3

Vamos começar eliminando a variável (1 - 1) , x + (-2 - 1) , y + (3 - 2) , z = 1 - 8 0 , x - 3 , y + 1 , z = -7 das segunda e terceira equações. Para isso, subtraímos a primeira linha da segunda e subtraímos 3 vezes a primeira linha da terceira.
Subtraindo a primeira linha da segunda:
(3 - 3 times 1) , x + (-7 - 3 times 1) , y + (4 - 3 times 2) , z = 10 - 3 times 8 0 , x - 10 , y - 2 , z = -14
Subtraindo 3 vezes a primeira linha da terceira:
1 & 1 & 2 & | & 8 0 & -3 & 1 & | & -7 0 & -10 & -2 & | & -14
Agora, nossa matriz fica:

Passo 4

Agora, vamos simplificar a segunda equação dividindo todos os termos por 0 , x + y - 13 z = 73 :
1 & 1 & 2 & | & 8 0 & 1 & -13 & | & 73 0 & -10 & -2 & | & -14
Nossa matriz atualizada:

Passo 5

Vamos eliminar a variável 10 times (0 , x + 1 , y - 13 z) = 10 times 73 0 , x + 10 , y - 103 z = 703 da terceira equação usando a segunda equação. Multiplicamos a segunda equação por 10 e somamos à terceira:
(0 + 0) , x + (-10 + 10) , y + (-2 - 103) , z = -14 + 703 0 , x + 0 , y - 163 z = -42 + 703 - 163 z = 283
Somando com a terceira equação:

Passo 6

Resolvendo para - 163 z = 283 z = 283 div (-163) z = 283 times (-316) z = -2816 z = -74 z = -1.75 :

Passo 7

Agora que temos y - 13 z = 73 y - 13 (-1.75) = 73 y + 1.753 = 73 y = 73 - 1.753 y = 5.253 y = 1.75 , vamos encontrar usando a segunda equação simplificada:

Passo 8

Por fim, encontramos x + y + 2z = 8 x + 1.75 + 2(-1.75) = 8 x + 1.75 - 3.5 = 8 x - 1.75 = 8 x = 8 + 1.75 x = 9.75 usando a primeira equação do sistema:

Resposta

A solução do sistema é:
x = 9.75, y = 1.75, z = -1.75

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