Indique se as seguintes sentenças são VERDADEIRAS (V) ou FALSAS (F):
( ) Todo sistema linear homogêneo (sistema linear com a matriz dos termos independentes nula) admite uma solução.
( ) O sistema linear l2 x-6 y=-8 -x+3 y=4 é impossível (não possui solução).
( ) Para o sistema A X=B se A admite uma inversa, então X=A^-1 B é a solução desse sistema.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente indicar se cada uma das três sentenças é VERDADEIRA (V) ou FALSA (F). Vamos trabalhar com sistemas lineares, então precisamos lembrar de alguns conceitos básicos sobre esses sistemas e como determinar se eles têm soluções ou não.

Passo 2

Primeira sentença:
Todo sistema linear homogêneo (sistema linear com a matriz dos termos independentes nula) admite uma solução.
Vamos entender o que é um sistema linear homogêneo. Um sistema homogêneo é aquele em que todas as equações igualam a zero. Por exemplo:
2x - 6y = 0 - x + 3y = 0
Nesses casos, sempre temos pelo menos a solução trivial, onde todas as variáveis são iguais a zero (x = 0, y = 0). Essa é a chamada solução trivial. Além disso, dependendo do sistema, pode haver soluções não triviais. Portanto, todo sistema homogêneo sempre tem pelo menos uma solução.
Resposta: Verdadeira (V)

Passo 3

Segunda sentença:
O sistema linear l2 x-6 y=-8 -x+3 y=4 é impossível (não possui solução).
Vamos analisar esse sistema:
2x - 6y = -8 - x + 3y = 4
Podemos simplificar a segunda equação multiplicando ambos os lados por 2:
-2x + 6y = 8
Agora, comparemos com a primeira equação:
2x - 6y = -8 -2x + 6y = 8
Se somarmos as duas equações:
(2x - 6y) + (-2x + 6y) = -8 + 8 0x + 0y = 0
Isso indica que as duas equações são equivalentes e, na verdade, representam a mesma reta. Portanto, o sistema é compatível indeterminado, ou seja, tem infinitas soluções. Isso significa que a afirmação de que o sistema é impossível está errada.
Resposta: Falsa (F)

Passo 4

Terceira sentença:
Para o sistema A X = B, se A admite uma inversa, então X = A^-1 B é a solução desse sistema.
Aqui, estamos falando de sistemas lineares na forma matricial. Se a matriz dos coeficientes A é inversível (ou seja, existe a matriz A^-1 tal que A A^-1 = I, onde I é a matriz identidade), então podemos multiplicar ambos os lados da equação A X = B por A^-1 para encontrar a solução:
A^-1 A X = A^-1 B I X = A^-1 B X = A^-1 B
Portanto, se A admite uma inversa, então efetivamente X = A^-1 B é a solução única do sistema.
Resposta: Verdadeira (V)

Resposta

(V), (F), (V)

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