Indique se as seguintes sentenças são VERDADEIRAS (V) ou FALSAS (F):
( ) Todo sistema linear homogêneo (sistema linear com a matriz dos termos independentes nula) admite uma solução.
( ) O sistema linear
é impossível (não possui solução).
( ) Para o sistema
se
admite uma inversa, então
é a solução desse sistema.
( ) Todo sistema linear homogêneo (sistema linear com a matriz dos termos independentes nula) admite uma solução.
( ) O sistema linear
( ) Para o sistema
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente indicar se cada uma das três sentenças é VERDADEIRA (V) ou FALSA (F). Vamos trabalhar com sistemas lineares, então precisamos lembrar de alguns conceitos básicos sobre esses sistemas e como determinar se eles têm soluções ou não.
Passo 2
Primeira sentença:
Todo sistema linear homogêneo (sistema linear com a matriz dos termos independentes nula) admite uma solução.
Vamos entender o que é um sistema linear homogêneo. Um sistema homogêneo é aquele em que todas as equações igualam a zero. Por exemplo:
Nesses casos, sempre temos pelo menos a solução trivial, onde todas as variáveis são iguais a zero (x = 0, y = 0). Essa é a chamada solução trivial. Além disso, dependendo do sistema, pode haver soluções não triviais. Portanto, todo sistema homogêneo sempre tem pelo menos uma solução.
Resposta: Verdadeira (V)
Passo 3
Segunda sentença:
O sistema linear
é impossível (não possui solução).
Vamos analisar esse sistema:
Podemos simplificar a segunda equação multiplicando ambos os lados por 2:
Agora, comparemos com a primeira equação:
Se somarmos as duas equações:
Isso indica que as duas equações são equivalentes e, na verdade, representam a mesma reta. Portanto, o sistema é compatível indeterminado, ou seja, tem infinitas soluções. Isso significa que a afirmação de que o sistema é impossível está errada.
Resposta: Falsa (F)
Passo 4
Terceira sentença:
Para o sistema
, se
admite uma inversa, então
é a solução desse sistema.
Aqui, estamos falando de sistemas lineares na forma matricial. Se a matriz dos coeficientes
é inversível (ou seja, existe a matriz
tal que
, onde
é a matriz identidade), então podemos multiplicar ambos os lados da equação
por
para encontrar a solução:
Portanto, se
admite uma inversa, então efetivamente
é a solução única do sistema.
Resposta: Verdadeira (V)
Resposta
(V), (F), (V)