Indique se as seguintes sentenças são VERDADEIRAS (V) ou FALSAS (F):
( ) Se a primeira linha da matriz A é igual a metade da primeira linha de B e as demais linhas de A e B coincidem, então det(A)=12 det(B).
( ) O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos da sua diagonal principal.
( ) Para matrizes A e B invertíveis, vale (A cdot B)^-1=A^-1 B^-1.
( ) Se B=A A^t A^-1, então det B=det A.
( ) Se det(X) neq 0, então X admite uma inversa.
( ) det(A+B)=det(A)+det(B).
( ) Se A é invertível, então (A^-1)^t=(A^t)^-1.
( ) Se det(A)=det(B), então A=B.
( ) Se A^-1=A, então det(A)=1.
( ) O determinante de uma matriz diagonal é o produto dos elementos da sua diagonal principal.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre determinantes e propriedades de matrizes. A gente vai precisar saber como os determinantes se comportam quando a gente faz certas operações nas matrizes, como trocar linhas, multiplicar linhas por um escalar, e entender propriedades de matrizes inversas e transpostas.

Passo 2

Vamos analisar cada sentença uma por uma para ver se é verdadeira (V) ou falsa (F).

Passo 3

  1. Se a primeira linha da matriz é igual a metade da primeira linha de e as demais linhas de e coincidem, então .
    Quando a gente multiplica uma linha de uma matriz por um número, o determinante também é multiplicado por esse número. Aqui, a primeira linha de é metade da de , então o determinante de será metade do de . Verdadeiro.
  2. O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos da sua diagonal principal.
    Isso é uma propriedade clássica: em matrizes triangulares (superior ou inferior), o determinante é o produto dos elementos da diagonal. Verdadeiro.
  3. Para matrizes e invertíveis, vale .
    Na verdade, a inversa do produto é a inversa na ordem reversa: . Falso.
  4. Se , então .
    Calculando o determinante: . Verdadeiro.
  5. Se , então admite uma inversa.
    Uma matriz é invertível se e somente se seu determinante é diferente de zero. Verdadeiro.
  6. .
    Determinante não é uma função linear, então, em geral, não é igual a . Falso.
  7. Se é invertível, então .
    A transposta da inversa é igual à inversa da transposta. Verdadeiro.
  8. Se , então .
    Ter determinantes iguais não garante que as matrizes sejam iguais. Falso.
  9. Se , então .
    Se , então . Isso implica que , então pode ser ou . A sentença afirma que é , mas também pode ser . Falso.
  10. O determinante de uma matriz diagonal é o produto dos elementos da sua diagonal principal.
    Isso é uma propriedade básica das matrizes diagonais. Verdadeiro.

Resposta

  1. V
  2. V
  3. F
  4. V
  5. V
  6. F
  7. V
  8. F
  9. F
  10. V

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