Indique se as seguintes sentenças são VERDADEIRAS (V) ou FALSAS (F):
( ) Se a primeira linha da matriz
é igual a metade da primeira linha de
e as demais linhas de
e
coincidem, então
.
( ) O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos da sua diagonal principal.
( ) Para matrizes
e
invertíveis, vale
.
( ) Se
, então
.
( ) Se
, então
admite uma inversa.
( )
.
( ) Se
é invertível, então
.
( )
, então
.
( ) Se
, então
.
( ) O determinante de uma matriz diagonal é o produto dos elementos da sua diagonal principal.
( ) Se a primeira linha da matriz
( ) O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos da sua diagonal principal.
( ) Para matrizes
( ) Se
( ) Se
( )
( ) Se
( )
( ) Se
( ) O determinante de uma matriz diagonal é o produto dos elementos da sua diagonal principal.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre determinantes e propriedades de matrizes. A gente vai precisar saber como os determinantes se comportam quando a gente faz certas operações nas matrizes, como trocar linhas, multiplicar linhas por um escalar, e entender propriedades de matrizes inversas e transpostas.
Passo 2
Vamos analisar cada sentença uma por uma para ver se é verdadeira (V) ou falsa (F).
Passo 3
-
Se a primeira linha da matriz
é igual a metade da primeira linha de e as demais linhas de e coincidem, então . Quando a gente multiplica uma linha de uma matriz por um número, o determinante também é multiplicado por esse número. Aqui, a primeira linha deé metade da de , então o determinante de será metade do de . Verdadeiro. -
O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos da sua diagonal principal.Isso é uma propriedade clássica: em matrizes triangulares (superior ou inferior), o determinante é o produto dos elementos da diagonal. Verdadeiro.
-
Para matrizes
e invertíveis, vale . Na verdade, a inversa do produto é a inversa na ordem reversa:. Falso. -
Se
, então . Calculando o determinante: . Verdadeiro. -
Se
, então admite uma inversa. Uma matriz é invertível se e somente se seu determinante é diferente de zero. Verdadeiro. -
. Determinante não é uma função linear, então, em geral,não é igual a . Falso. -
Se
é invertível, então . A transposta da inversa é igual à inversa da transposta. Verdadeiro. -
Se
, então . Ter determinantes iguais não garante que as matrizes sejam iguais. Falso. -
Se
, então . Se, então . Isso implica que , então pode ser ou . A sentença afirma que é , mas também pode ser . Falso. -
O determinante de uma matriz diagonal é o produto dos elementos da sua diagonal principal.Isso é uma propriedade básica das matrizes diagonais. Verdadeiro.
Resposta
- V
- V
- F
- V
- V
- F
- V
- F
- F
- V