Use as interseções com os eixos coordenados e esboce os seguintes planos:
(a) 2 x+5 y+z=10
(d) 4 y+2 z=12
(b) 6 x-3 y+4 z=6
(e) 3 x-12=0
© 3 x+4 y-12=0
(f) 2 z-12=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar as interseções de cada plano com os eixos coordenados e desenhar um esboço desses planos. Para isso, vamos usar conceitos de Geometria Analítica, especificamente sobre planos no espaço tridimensional. Vamos precisar identificar onde cada plano corta o eixo , o eixo e o eixo .

Passo 2

Parte (a) 2x + 5(0) + 0 = 10 implies 2x = 10 implies x = 5

Encontrar as interseções:
  1. Interseção com o eixo 2(0) + 5y + 0 = 10 implies 5y = 10 implies y = 2 : Para encontrar onde o plano corta o eixo 2(0) + 5(0) + z = 10 implies z = 10 , deixamos e .
    Então, o ponto de interseção é .
  2. Interseção com o eixo : Deixamos e .
    O ponto de interseção é .
  3. Interseção com o eixo : Deixamos e .
    O ponto de interseção é .
Esboço:
Com esses três pontos, conseguimos desenhar o plano no espaço tridimensional.

Passo 3

Parte (b) 6x - 3(0) + 4(0) = 6 implies 6x = 6 implies x = 1

Encontrar as interseções:
  1. Interseção com o eixo 6(0) - 3y + 4(0) = 6 implies -3y = 6 implies y = -2 : 6(0) - 3(0) + 4z = 6 implies 4z = 6 implies z = 32 , .
    Ponto: .
  2. Interseção com o eixo : , .
    Ponto: .
  3. Interseção com o eixo : , .
    Ponto: .
Esboço:
Com os pontos , e , podemos desenhar o plano .

Passo 4

Parte © 3x + 4y = 12

Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar:
3x + 4(0) = 12 implies 3x = 12 implies x = 4
Encontrar as interseções:
  1. Interseção com o eixo 3(0) + 4y = 12 implies 4y = 12 implies y = 3 : , .
    Ponto: .
  2. Interseção com o eixo : , .
    Ponto: .
  3. Interseção com o eixo : A equação não possui termo , então o plano é paralelo ao eixo e não corta esse eixo. Portanto, não há interseção com o eixo .
Esboço:
Com os pontos e , e sabendo que o plano é paralelo ao eixo , podemos desenhar o plano .

Passo 5

Parte (d) 4y + 2(0) = 12 implies 4y = 12 implies y = 3

Encontrar as interseções:
  1. Interseção com o eixo 4(0) + 2z = 12 implies 2z = 12 implies z = 6 : , .
    Ponto: .
  2. Interseção com o eixo : , .
    Ponto: .
  3. Interseção com o eixo : A equação não possui termo , então o plano é paralelo ao eixo e não corta esse eixo. Portanto, não há interseção com o eixo .
Esboço:
Com os pontos e , e sabendo que o plano é paralelo ao eixo , podemos desenhar o plano .

Passo 6

Parte (e) 3x = 12 implies x = 4

Vamos reorganizar a equação:
Encontrar as interseções:
Este é um caso especial onde o plano é perpendicular ao eixo .
  1. Interseção com o eixo : É o ponto .
  2. Interseção com os outros eixos: Como não há termos e , o plano é paralelo aos eixos e e não corta esses eixos.
Esboço:
O plano é uma parede vertical que passa pelo ponto e se estende infinitamente ao longo dos eixos e .

Passo 7

Parte (f) 2z = 12 implies z = 6

Vamos reorganizar a equação:
Encontrar as interseções:
Este é outro caso especial onde o plano é paralelo ao plano .
  1. Interseção com o eixo : É o ponto .
  2. Interseção com os outros eixos: Como não há termos e , o plano é paralelo aos eixos e e não corta esses eixos.
Esboço:
O plano é uma “tampa” horizontal localizada no nível , estendendo-se infinitamente ao longo dos eixos e .

Resposta

Resumindo, as interseções dos planos com os eixos coordenados são:
  • (a) : , ,
  • (b) : , ,
  • © : , (paralelo ao eixo )
  • (d) : , (paralelo ao eixo )
  • (e) : (paralelo aos eixos e )
  • (f) : (paralelo aos eixos e )
Com essas interseções, você pode esboçar cada um dos planos no espaço tridimensional!

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