Calcule o determinante da matriz A abaixo, e diga: quais as condições para A ser invertível?
A=[cccc a+b & b+c & 0 & c e+d & e+a & d & o 1 & d & 1 & d a+b & c+2 b & 0 & c+b ]
(Sugestão: lembre-se de que você pode usar operações elementares nas linhas E colunas.)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o determinante da matriz que foi dada e descobrir quais são as condições para que seja invertível. Pra isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente determinantes e critérios de invertibilidade de matrizes. Vamos precisar entender como calcular determinantes de matrizes 4x4, utilizando operações elementares nas linhas ou colunas para simplificar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz A = a+b & b+c & 0 & c e+d & e+a & d & o 1 & d & 1 & d a+b & c+2b & 0 & c+b novamente para facilitar:
Nosso objetivo é calcular o determinante dessa matriz. Para facilitar, vamos tentar simplificar a matriz usando operações elementares, como somar ou subtrair linhas umas das outras.

Passo 3

Vamos começar observando que a primeira linha e a quarta linha têm elementos semelhantes. Vamos tentar eliminar alguns termos para simplificar o cálculo.
Subtraímos a primeira linha da quarta linha:
Linha 4 = Linha 4 - Linha 1
Calculando cada elemento:
  • A = a+b & b+c & 0 & c e+d & e+a & d & o 1 & d & 1 & d 0 & b & 0 & b
Agora, a matriz fica assim:

Passo 4

Agora, observamos que na quarta linha, apenas as entradas na segunda e quarta colunas são diferentes de zero. Vamos usar essa linha para expandir o determinante, pois facilita os cálculos.
O determinante de uma matriz 4x4 pode ser calculado expandindo por uma linha ou coluna que tenha zeros, o que simplifica as operações. Vamos expandir pela quarta linha:
det(A) = 0 cdot C41 + b cdot C42 + 0 cdot C43 + b cdot C44
Aqui, são os cofatores correspondentes. Como os primeiros e terceiros termos têm multiplicador zero, restam apenas os termos com .

Passo 5

Vamos calcular os cofatores a+b & 0 & c e+d & d & o 1 & 1 & d e det = (a+b)(d cdot d - o cdot 1) - 0 + c(e+d cdot 1 - d cdot 1) = (a+b)(d^2 - o) + c(e+d - d) = (a+b)(d^2 - o) + c e .
Para C42 = -[(a+b)(d^2 - o) + c e] :
Removemos a quarta linha e a segunda coluna:
a+b & b+c & 0 e+d & e+a & d 1 & d & 1
O determinante dessa matriz 3x3 é:
det = (a+b)(e+a cdot 1 - d cdot d) - (b+c)( (e+d) cdot 1 - d cdot 1) + 0 = (a+b)(e + a - d^2) - (b+c)(e + d - d) = (a+b)(e + a - d^2) - (b+c)e
Como estamos expandindo pela segunda coluna, o sinal do cofator C44 = (a+b)(e + a - d^2) - (b+c)e é negativo:
Para :
Removemos a quarta linha e a quarta coluna:
Calculamos o determinante dessa matriz 3x3:
O sinal do cofator é positivo:

Passo 6

Agora, substituímos os cofatores na expressão do determinante:
det(A) = b cdot C42 + b cdot C44 = b[-(a+b)(d^2 - o) - c e] + b[(a+b)(e + a - d^2) - (b+c)e]
Simplificando:
det(A) = -b(a+b)(d^2 - o) - b c e + b(a+b)(e + a - d^2) - b(b+c)e
Observamos que - b c e - b(b+c)e = -b e (c + b + c) = -b e (2c + b)
E os termos restantes:
det(A) = b(a+b)(e + a - 2d^2 + o) - b e (2c + b)
Então:

Passo 7

Podemos fatorar det(A) = b [ (a+b)(e + a - 2d^2 + o) - e(2c + b) ] dos dois termos:
Essa é a expressão final para o determinante da matriz .

Resposta

O determinante da matriz det(A) = b [ (a+b)(e + a - 2d^2 + o) - e(2c + b) ] é dado por:
b [ (a+b)(e + a - 2d^2 + o) - e(2c + b) ] neq 0
Para que a matriz seja invertível, o determinante deve ser diferente de zero. Portanto, as condições para ser invertível são:
Isso significa que:
Essas condições garantem que o determinante não seja zero, tornando a matriz invertível.

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