Calcule o determinante da matriz abaixo, e diga: quais as condições para ser invertível?
(Sugestão: lembre-se de que você pode usar operações elementares nas linhas colunas.)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o determinante da matriz que foi dada e descobrir quais são as condições para que seja invertível. Pra isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente determinantes e critérios de invertibilidade de matrizes. Vamos precisar entender como calcular determinantes de matrizes 4x4, utilizando operações elementares nas linhas ou colunas para simplificar o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a matriz novamente para facilitar:
Nosso objetivo é calcular o determinante dessa matriz. Para facilitar, vamos tentar simplificar a matriz usando operações elementares, como somar ou subtrair linhas umas das outras.
Passo 3
Vamos começar observando que a primeira linha e a quarta linha têm elementos semelhantes. Vamos tentar eliminar alguns termos para simplificar o cálculo.
Subtraímos a primeira linha da quarta linha:
Calculando cada elemento:
Agora, a matriz fica assim:
Passo 4
Agora, observamos que na quarta linha, apenas as entradas na segunda e quarta colunas são diferentes de zero. Vamos usar essa linha para expandir o determinante, pois facilita os cálculos.
O determinante de uma matriz 4x4 pode ser calculado expandindo por uma linha ou coluna que tenha zeros, o que simplifica as operações. Vamos expandir pela quarta linha:
Aqui, são os cofatores correspondentes. Como os primeiros e terceiros termos têm multiplicador zero, restam apenas os termos com .
Passo 5
Vamos calcular os cofatores e .
Para :
Removemos a quarta linha e a segunda coluna:
O determinante dessa matriz 3x3 é:
Como estamos expandindo pela segunda coluna, o sinal do cofator é negativo:
Para :
Removemos a quarta linha e a quarta coluna:
Calculamos o determinante dessa matriz 3x3:
O sinal do cofator é positivo:
Passo 6
Agora, substituímos os cofatores na expressão do determinante:
Simplificando:
Observamos que
E os termos restantes:
Então:
Passo 7
Podemos fatorar dos dois termos:
Essa é a expressão final para o determinante da matriz .
Resposta
O determinante da matriz é dado por:
Para que a matriz seja invertível, o determinante deve ser diferente de zero. Portanto, as condições para ser invertível são:
Isso significa que:
Essas condições garantem que o determinante não seja zero, tornando a matriz invertível.