Já sabemos que se
é uma matriz
e
é uma matriz
, com
, então
não é uma matriz invertível. Agora analise as possibilidades quando
. (Lembre-se: você pode usar contra-exemplos quando necessário.)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas matrizes,
de dimensão
e
de dimensão
. Já sabemos que quando
, a matriz
não é invertível. Agora, precisamos analisar o que acontece quando
.
Conteúdo da matéria: Matriz invertível, propriedades das matrizes retangulares, e condições para uma matriz ser invertível.
O que vamos precisar: Entender o que significa uma matriz ser invertível e analisar diferentes casos quando
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa uma matriz ser invertível. Uma matriz quadrada
é invertível se existe outra matriz
tal que:
onde
é a matriz identidade. Note que somente matrizes quadradas podem ser invertidas.
Passo 3
Agora, vamos analisar as dimensões das matrizes. Se
é
:
- Se
: não é quadrada e, portanto, não pode ser invertível. - Se
: é uma matriz quadrada e pode ser invertível ou não, dependendo de outras propriedades, como o determinante ser diferente de zero.
Passo 4
Vamos considerar os dois casos separadamente:
-
Quando
: -
é uma matriz com . - Essa matriz não é quadrada, então não pode ser invertível.
-
-
Quando
: -
é uma matriz quadrada . - Uma matriz quadrada pode ser invertível se seu determinante for diferente de zero.
- Exemplo: Se
for a matriz identidade , então é invertível porque . - Contra-exemplo: Se
for uma matriz com linhas iguais, seu determinante será zero, então não é invertível.
-
Passo 5
Resumindo:
- Para
: não é invertível. - Para
: pode ou não ser invertível, dependendo de suas propriedades internas (como ter determinante diferente de zero).
Resposta
Quando
, a matriz
não é invertível se
. Se
,
pode ser invertível ou não, dependendo de suas características específicas.