Já sabemos que se é uma matriz e é uma matriz , com , então não é uma matriz invertível. Agora analise as possibilidades quando . (Lembre-se: você pode usar contra-exemplos quando necessário.)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas matrizes, de dimensão e de dimensão . Já sabemos que quando , a matriz não é invertível. Agora, precisamos analisar o que acontece quando .
Conteúdo da matéria: Matriz invertível, propriedades das matrizes retangulares, e condições para uma matriz ser invertível.
O que vamos precisar: Entender o que significa uma matriz ser invertível e analisar diferentes casos quando .
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa uma matriz ser invertível. Uma matriz quadrada é invertível se existe outra matriz tal que:
onde é a matriz identidade. Note que somente matrizes quadradas podem ser invertidas.
Passo 3
Agora, vamos analisar as dimensões das matrizes. Se é :
Se : não é quadrada e, portanto, não pode ser invertível.
Se : é uma matriz quadrada e pode ser invertível ou não, dependendo de outras propriedades, como o determinante ser diferente de zero.
Passo 4
Vamos considerar os dois casos separadamente:
Quando :
é uma matriz com .
Essa matriz não é quadrada, então não pode ser invertível.
Quando :
é uma matriz quadrada .
Uma matriz quadrada pode ser invertível se seu determinante for diferente de zero.
Exemplo: Se for a matriz identidade , então é invertível porque .
Contra-exemplo: Se for uma matriz com linhas iguais, seu determinante será zero, então não é invertível.
Passo 5
Resumindo:
Para : não é invertível.
Para : pode ou não ser invertível, dependendo de suas propriedades internas (como ter determinante diferente de zero).
Resposta
Quando , a matriz não é invertível se . Se , pode ser invertível ou não, dependendo de suas características específicas.