Já sabemos que se é uma matriz e é uma matriz , com , então não é uma matriz invertível. Agora analise as possibilidades quando . (Lembre-se: você pode usar contra-exemplos quando necessário.)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas matrizes, de dimensão e de dimensão . Já sabemos que quando , a matriz não é invertível. Agora, precisamos analisar o que acontece quando .
Conteúdo da matéria: Matriz invertível, propriedades das matrizes retangulares, e condições para uma matriz ser invertível.
O que vamos precisar: Entender o que significa uma matriz ser invertível e analisar diferentes casos quando .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa uma matriz ser invertível. Uma matriz quadrada é invertível se existe outra matriz tal que:
onde é a matriz identidade. Note que somente matrizes quadradas podem ser invertidas.

Passo 3

Agora, vamos analisar as dimensões das matrizes. Se é :
  • Se : não é quadrada e, portanto, não pode ser invertível.
  • Se : é uma matriz quadrada e pode ser invertível ou não, dependendo de outras propriedades, como o determinante ser diferente de zero.

Passo 4

Vamos considerar os dois casos separadamente:
  1. Quando :
    • é uma matriz com .
    • Essa matriz não é quadrada, então não pode ser invertível.
  2. Quando :
    • é uma matriz quadrada .
    • Uma matriz quadrada pode ser invertível se seu determinante for diferente de zero.
    • Exemplo: Se for a matriz identidade , então é invertível porque .
    • Contra-exemplo: Se for uma matriz com linhas iguais, seu determinante será zero, então não é invertível.

Passo 5

Resumindo:
  • Para : não é invertível.
  • Para : pode ou não ser invertível, dependendo de suas propriedades internas (como ter determinante diferente de zero).

Resposta

Quando , a matriz não é invertível se . Se , pode ser invertível ou não, dependendo de suas características específicas.

Exercícios relacionados

Calcule o determinante da matriz abaixo, e diga: quais as condições para ser invertível?
(Sugestão: lembre-se de que você pode usar operações elementares nas linhas colunas.)
Dados os vetores e , calcular:
.
Responda Verdadeiro ou Falso, sempre justificando: Se é uma matriz quadrada tal que é singular, então também é singular.
Responda Verdadeiro ou Falso, sempre justificando: Se e são matrizes quadradas tais que , então , onde , com e , matriz identidade de mesmas dimensões de e .