Responda Verdadeiro ou Falso, sempre justificando: Se
é uma matriz quadrada tal que
é singular, então
também é singular.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão está perguntando se a seguinte afirmação é verdadeira ou falsa: “Se
é uma matriz quadrada tal que
é singular, então
também é singular.” Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma matriz ser singular e como as propriedades dos determinantes funcionam quando elevamos matrizes ao quadrado.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz singular. Uma matriz quadrada
é chamada de singular se ela não tem uma matriz inversa. Isso significa que não existe nenhuma matriz
tal que
, onde
é a matriz identitária. Uma maneira fácil de verificar isso é usando o determinante: se
, então
é singular.
Passo 3
Agora, vamos pensar no que acontece quando elevamos uma matriz ao quadrado, ou seja, calculamos
. Sabemos que o determinante de um produto de matrizes é igual ao produto dos determinantes delas. Matematicamente, isso é representado por:
Aplicando isso à nossa matriz
, temos:
Passo 4
A questão nos diz que
é singular, ou seja,
. Usando o que vimos no passo anterior:
A única maneira disso ser verdade é se
, porque o único número cujo quadrado é zero é zero mesmo.
Passo 5
Se
, então, de acordo com o passo 2, a matriz
é singular.
Resposta
Verdadeiro. Se
é singular, então
também é singular.