Responda Verdadeiro ou Falso, sempre justificando: Se A é uma matriz quadrada tal que A^2 é singular, então A também é singular.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão está perguntando se a seguinte afirmação é verdadeira ou falsa: “Se é uma matriz quadrada tal que é singular, então também é singular.” Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma matriz ser singular e como as propriedades dos determinantes funcionam quando elevamos matrizes ao quadrado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz singular. Uma matriz quadrada é chamada de singular se ela não tem uma matriz inversa. Isso significa que não existe nenhuma matriz tal que , onde é a matriz identitária. Uma maneira fácil de verificar isso é usando o determinante: se , então é singular.

Passo 3

Agora, vamos pensar no que acontece quando elevamos uma matriz ao quadrado, ou seja, calculamos det(A cdot B) = det(A) cdot det(B) . Sabemos que o determinante de um produto de matrizes é igual ao produto dos determinantes delas. Matematicamente, isso é representado por:
det(A^2) = det(A cdot A) = det(A) cdot det(A) = ( det(A) )^2
Aplicando isso à nossa matriz , temos:

Passo 4

A questão nos diz que ( det(A) )^2 = 0 é singular, ou seja, . Usando o que vimos no passo anterior:
A única maneira disso ser verdade é se , porque o único número cujo quadrado é zero é zero mesmo.

Passo 5

Se , então, de acordo com o passo 2, a matriz é singular.

Resposta

Verdadeiro. Se é singular, então também é singular.

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