Responda Verdadeiro ou Falso, sempre justificando: Se é uma matriz quadrada tal que é singular, então também é singular.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão está perguntando se a seguinte afirmação é verdadeira ou falsa: “Se é uma matriz quadrada tal que é singular, então também é singular.” Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma matriz ser singular e como as propriedades dos determinantes funcionam quando elevamos matrizes ao quadrado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz singular. Uma matriz quadrada é chamada de singular se ela não tem uma matriz inversa. Isso significa que não existe nenhuma matriz tal que , onde é a matriz identitária. Uma maneira fácil de verificar isso é usando o determinante: se , então é singular.

Passo 3

Agora, vamos pensar no que acontece quando elevamos uma matriz ao quadrado, ou seja, calculamos . Sabemos que o determinante de um produto de matrizes é igual ao produto dos determinantes delas. Matematicamente, isso é representado por:
Aplicando isso à nossa matriz , temos:

Passo 4

A questão nos diz que é singular, ou seja, . Usando o que vimos no passo anterior:
A única maneira disso ser verdade é se , porque o único número cujo quadrado é zero é zero mesmo.

Passo 5

Se , então, de acordo com o passo 2, a matriz é singular.

Resposta

Verdadeiro. Se é singular, então também é singular.

Exercícios relacionados

Já sabemos que se é uma matriz e é uma matriz , com , então não é uma matriz invertível. Agora analise as possibilidades quando . (Lembre-se: você pode usar contra-exemplos quando necessário.)
Calcule o determinante da matriz abaixo, e diga: quais as condições para ser invertível?
(Sugestão: lembre-se de que você pode usar operações elementares nas linhas colunas.)
Responda Verdadeiro ou Falso, sempre justificando: Se e são matrizes quadradas tais que , então , onde , com e , matriz identidade de mesmas dimensões de e .
Responda Verdadeiro ou Falso, sempre justificando: Se é uma matriz tal que o sistema linear tenha solução única para todo vetor-coluna então é invertível (em particular, é quadrada).