Generalize o resultado para uma matriz A=(ai j)n times n na qual ai j=0 sempre que i+j <= n.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o determinante de uma matriz de que tem vários elementos iguais a zero, especificamente quando a soma dos índices é menor ou igual a 4. O conteúdo que vamos usar aqui é o cálculo de determinantes de matrizes especiais, e vamos precisar entender como as propriedades de zeros em certas posições podem facilitar esse cálculo.
Note que todos os elementos onde são zero. Isso significa que temos muitos zeros na parte “inferior” da matriz, o que simplifica bastante o cálculo do determinante.
Passo 3
Para calcular o determinante dessa matriz, podemos observar que ela possui uma estrutura chamada de “anti-diagonal”. Em vez da diagonal principal, estamos interessados na diagonal que vai do canto superior direito ao canto inferior esquerdo.
Passo 4
A propriedade chave aqui é que, para matrizes desse tipo, o determinante é igual ao produto dos elementos da anti-diagonal, possivelmente multiplicado por um sinal que depende do tamanho da matriz. No caso de uma matriz , o sinal fica positivo porque .
Passo 5
Então, vamos identificar os elementos da anti-diagonal da matriz :
Passo 6
Agora, calculamos o determinante multiplicando esses elementos:
det(A) = a14 times a23 times a32 times a41
Passo 7
Para generalizar isso para uma matriz onde sempre que , a lógica é a mesma. A matriz terá elementos não nulos apenas na anti-diagonal, e o determinante será o produto desses elementos, possivelmente ajustado por um fator de sinal que depende de .
Resposta
O determinante da matriz det(A) = a14 times a23 times a32 times a41 é dado por: