Calcule o determinante da matriz
A=[cccc 0 & 0 & 0 & a14 0 & 0 & a23 & a24 0 & a32 & a33 & a34 a41 & a42 & a43 & a44 ]
Generalize o resultado para uma matriz A=(ai j)n times n na qual ai j=0 sempre que i+j <= n.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o determinante de uma matriz de que tem vários elementos iguais a zero, especificamente quando a soma dos índices é menor ou igual a 4. O conteúdo que vamos usar aqui é o cálculo de determinantes de matrizes especiais, e vamos precisar entender como as propriedades de zeros em certas posições podem facilitar esse cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar a matriz A=[cccc 0 & 0 & 0 & a14 0 & 0 & a23 & a24 0 & a32 & a33 & a34 a41 & a42 & a43 & a44 ] :
Note que todos os elementos onde são zero. Isso significa que temos muitos zeros na parte “inferior” da matriz, o que simplifica bastante o cálculo do determinante.

Passo 3

Para calcular o determinante dessa matriz, podemos observar que ela possui uma estrutura chamada de “anti-diagonal”. Em vez da diagonal principal, estamos interessados na diagonal que vai do canto superior direito ao canto inferior esquerdo.

Passo 4

A propriedade chave aqui é que, para matrizes desse tipo, o determinante é igual ao produto dos elementos da anti-diagonal, possivelmente multiplicado por um sinal que depende do tamanho da matriz. No caso de uma matriz , o sinal fica positivo porque .

Passo 5

Então, vamos identificar os elementos da anti-diagonal da matriz :

Passo 6

Agora, calculamos o determinante multiplicando esses elementos:
det(A) = a14 times a23 times a32 times a41

Passo 7

Para generalizar isso para uma matriz onde sempre que , a lógica é a mesma. A matriz terá elementos não nulos apenas na anti-diagonal, e o determinante será o produto desses elementos, possivelmente ajustado por um fator de sinal que depende de .

Resposta

O determinante da matriz det(A) = a14 times a23 times a32 times a41 é dado por:

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