Calcule os seguintes determinantes:
(d)
;
(d)
Passo 1
Vamos calcular o determinante de uma matriz 4x4 específica. Para isso, vamos usar o conteúdo de determinantes e a técnica de expansão por cofatores, que nos ajuda a resolver determinantes de matrizes maiores, quebrando-os em determinantes menores.
Passo 2
Primeiro, escolhemos uma linha ou coluna para facilitar os cálculos. Vou escolher a segunda linha porque ela tem um elemento zero, o que simplifica a conta. A matriz que temos é:
Passo 3
Agora, vamos expandir o determinante usando a segunda linha. A fórmula da expansão por cofatores para a segunda linha é:
Onde
são os elementos da matriz e
são os cofatores correspondentes.
Passo 4
Vamos calcular cada termo:
-
Para
:-5 & 3 & 2 2 & -1 & 3 1 & 0 & 4 - Eliminamos a segunda linha e a primeira coluna, ficando com:
C21 = -det -5 & 3 & 2 2 & -1 & 3 1 & 0 & 4 - O cofator
dessa matriz:4 & -5 & 2 1 & 2 & 3 2 & 1 & 4 C23 = -det 4 & -5 & 2 1 & 2 & 3 2 & 1 & 4
- Eliminamos a segunda linha e a primeira coluna, ficando com:
-
Para
:- Como o elemento é zero, esse termo não contribui para o determinante.
-
Para
:- Eliminamos a segunda linha e a terceira coluna:
- O cofator
dessa matriz:
- Eliminamos a segunda linha e a terceira coluna:
-
Para
:- Também é zero, então esse termo não contribui.
Passo 5
Agora, vamos calcular os determinantes das matrizes 3x3:
-
Determinante para
:det -5 & 3 & 2 2 & -1 & 3 1 & 0 & 4 = -5 times (-1 times 4 - 3 times 0) - 3 times (2 times 4 - 3 times 1) + 2 times (2 times 0 - (-1) times 1) = -5 times (-4) - 3 times (8 - 3) + 2 times (0 + 1) = 20 - 15 + 2 = 7 det 4 & -5 & 2 1 & 2 & 3 2 & 1 & 4 = 4 times (2 times 4 - 3 times 1) - (-5) times (1 times 4 - 3 times 2) + 2 times (1 times 1 - 2 times 2) = 4 times (8 - 3) + 5 times (4 - 6) + 2 times (1 - 4) = 4 times 5 + 5 times (-2) + 2 times (-3) = 20 - 10 - 6 = 4 Então, . -
Determinante para
:Então, .
Passo 6
Agora, substituímos os valores na fórmula da expansão:
Resposta
O determinante da matriz é
.