Calcule os seguintes determinantes:
(d) |cccc4 & -5 & 3 & 2 -1 & 0 & 3 & 0 1 & 2 & -1 & 3 2 & 1 & 0 & 4|;

Passo 1

Vamos calcular o determinante de uma matriz 4x4 específica. Para isso, vamos usar o conteúdo de determinantes e a técnica de expansão por cofatores, que nos ajuda a resolver determinantes de matrizes maiores, quebrando-os em determinantes menores.

Passo 2

Primeiro, escolhemos uma linha ou coluna para facilitar os cálculos. Vou escolher a segunda linha porque ela tem um elemento zero, o que simplifica a conta. A matriz que temos é:
4 & -5 & 3 & 2 -1 & 0 & 3 & 0 1 & 2 & -1 & 3 2 & 1 & 0 & 4

Passo 3

Agora, vamos expandir o determinante usando a segunda linha. A fórmula da expansão por cofatores para a segunda linha é:
det(A) = a21C21 + a22C22 + a23C23 + a24C24
Onde são os elementos da matriz e são os cofatores correspondentes.

Passo 4

Vamos calcular cada termo:
  1. Para -5 & 3 & 2 2 & -1 & 3 1 & 0 & 4 :
    • Eliminamos a segunda linha e a primeira coluna, ficando com: C21 = -det -5 & 3 & 2 2 & -1 & 3 1 & 0 & 4
    • O cofator 4 & -5 & 2 1 & 2 & 3 2 & 1 & 4 dessa matriz: C23 = -det 4 & -5 & 2 1 & 2 & 3 2 & 1 & 4
  2. Para :
    • Como o elemento é zero, esse termo não contribui para o determinante.
  3. Para :
    • Eliminamos a segunda linha e a terceira coluna:
    • O cofator dessa matriz:
  4. Para :
    • Também é zero, então esse termo não contribui.

Passo 5

Agora, vamos calcular os determinantes das matrizes 3x3:
  1. Determinante para det -5 & 3 & 2 2 & -1 & 3 1 & 0 & 4 = -5 times (-1 times 4 - 3 times 0) - 3 times (2 times 4 - 3 times 1) + 2 times (2 times 0 - (-1) times 1) = -5 times (-4) - 3 times (8 - 3) + 2 times (0 + 1) = 20 - 15 + 2 = 7 :
    det 4 & -5 & 2 1 & 2 & 3 2 & 1 & 4 = 4 times (2 times 4 - 3 times 1) - (-5) times (1 times 4 - 3 times 2) + 2 times (1 times 1 - 2 times 2) = 4 times (8 - 3) + 5 times (4 - 6) + 2 times (1 - 4) = 4 times 5 + 5 times (-2) + 2 times (-3) = 20 - 10 - 6 = 4
    Então, .
  2. Determinante para :
    Então, .

Passo 6

Agora, substituímos os valores na fórmula da expansão:
det(A) = (-1) times (-7) + 0 times C22 + 3 times (-4) + 0 times C24 = 7 + 0 - 12 + 0 = -5

Resposta

O determinante da matriz é .

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