Nos casos abaixo, pede-se: verificar se A é inversível; cof(A), a matriz cofatora de A, e A^-1, a matriz inversa de A (usando cof(A)), se esta existir.
(b) A=[ccccos theta & sin theta & 0 -sin theta & cos theta & 0 0 & 0 & 1];

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de matrizes! A gente precisa verificar se a matriz é inversível, achar a matriz cofatora de , e se a matriz inversa existir, encontrá-la usando a matriz cofatora. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como determinante, matriz cofatora e matriz inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a matriz é inversível. Uma matriz é inversível se o seu determinante for diferente de zero. Então, precisamos calcular o determinante de .

Passo 3

A matriz dada é:
A = cos theta & sin theta & 0 -sin theta & cos theta & 0 0 & 0 & 1
Vamos calcular o determinante de det(A) = det( cos theta & sin theta -sin theta & cos theta ) times det( 1 ) . Como é uma matriz 3x3, podemos usar a regra de Sarrus ou expansão por cofatores. Mas observando a estrutura da matriz, vemos que ela é block diagonal, o que facilita o cálculo:
det( cos theta & sin theta -sin theta & cos theta ) = cos^2 theta + sin^2 theta = 1
Para a submatriz 2x2:
det(A) = 1 times 1 = 1
E a determinante da última entrada é 1. Então:

Passo 4

Como o determinante de é 1, que é diferente de zero, isso significa que a matriz é inversível. Ou seja, ela tem uma matriz inversa.

Passo 5

Agora, vamos encontrar a matriz cofatora de , denotada por . A matriz cofatora é composta pelos cofatores de cada elemento de . O cofator de um elemento é dado por , onde é a matriz formada removendo a -ésima linha e -ésima coluna de .

Passo 6

Calculando cada cofator:
  • cos theta & 0 0 & 1
  • -sin theta & 0 0 & 1
  • -sin theta & cos theta 0 & 0
  • sin theta & 0 0 & 1
  • cos theta & 0 0 & 1
  • cos theta & sin theta 0 & 0
  • sin theta & 0 cos theta & 0
  • cos theta & 0 -sin theta & 0
  • cos theta & sin theta -sin theta & cos theta

Passo 7

Assim, a matriz cofatora de cof(A) = cos theta & sin theta & 0 -sin theta & cos theta & 0 0 & 0 & 1 é:

Passo 8

Agora, vamos encontrar a matriz inversa A^-1 = 1det(A) cof(A)^T usando a matriz cofatora. A fórmula para a inversa é:
A^-1 = cof(A)^T
Sabemos que , então:

Passo 9

Vamos transpor a matriz cofatora:
cof(A)^T = cos theta & -sin theta & 0 sin theta & cos theta & 0 0 & 0 & 1
Então, a matriz inversa A^-1 = cos theta & -sin theta & 0 sin theta & cos theta & 0 0 & 0 & 1 é:

Resposta

A matriz cof(A) = cos theta & sin theta & 0 -sin theta & cos theta & 0 0 & 0 & 1 é inversível. A matriz cofatora de A^-1 = cos theta & -sin theta & 0 sin theta & cos theta & 0 0 & 0 & 1 é:
E a matriz inversa de é:

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