Calcule os seguintes determinantes:
(e) |ccccc0 & 0 & 0 & 0 & -3 0 & 0 & 0 & -4 & 0 0 & 0 & -1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 & 0 & 0 5 & 0 & 0 & 1 & 0|;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o determinante de uma matriz 5x5. Isso está ligado ao conteúdo de álgebra linear, especificamente a parte que trata de determinantes. Para resolver, vamos usar a técnica de expansão por cofatores, escolhendo uma linha ou coluna que facilite os cálculos por ter mais zeros.

Passo 2

Primeiro, vamos observar a matriz que temos:
ccccc 0 & 0 & 0 & 0 & -3 0 & 0 & 0 & -4 & 0 0 & 0 & -1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 & 0 & 0 5 & 0 & 0 & 1 & 0
Percebemos que a primeira coluna tem muitos zeros, então ela é uma boa candidata para simplificar o cálculo usando a expansão por cofatores.

Passo 3

Vamos usar a regra de Sarrus ou a expansão por menores. Aqui, vamos optar pela expansão por cofatores na primeira coluna. A fórmula para o determinante usando a primeira coluna é:
det(A) = sumi=1^5 (-1)^i+1 cdot ai1 cdot Mi1
Onde são os elementos da primeira coluna e são os menores correspondentes.

Passo 4

Vamos calcular cada termo da soma:
  • Para : , então esse termo é zero.
  • Para : , também zero.
  • Para : , ainda zero.
  • Para : , zero de novo.
  • Para : . Esse é o único termo que não é zero.

Passo 5

Agora, vamos calcular o menor M51 = |cccc 0 & 0 & 0 & -3 0 & 0 & -4 & 0 0 & -1 & 0 & 0 2 & 0 & 0 & 0 | , que é a determinante da matriz que sobra após remover a 5ª linha e a 1ª coluna:
Essa matriz 4x4 também tem muitos zeros, então podemos expandir novamente.

Passo 6

Optamos por expandir det(M51) = sumi=1^4 (-1)^i+1 cdot ai1 cdot Mi1' pela primeira coluna:
Observando, apenas é diferente de zero.

Passo 7

Calculamos o menor M41' = |ccc 0 & 0 & -3 0 & -4 & 0 -1 & 0 & 0 | da matriz 3x3 que sobra:
Calcular esse determinante é direto, já que podemos expandir por qualquer linha ou coluna com zeros.

Passo 8

Expandindo det(M41') = 0 cdot cofator - 0 cdot cofator + (-3) cdot cofator pela primeira linha:
Apenas o último termo é diferente de zero.

Passo 9

Calculamos o cofator correspondente:
(-1)^1+3 cdot |cc 0 & -4 -1 & 0 | = (-1)^4 cdot (0 cdot 0 - (-4) cdot (-1)) = 1 cdot (-4) = -4
Então, .

Passo 10

Voltando ao cálculo de det(M51) = 2 cdot 12 = 24 :
det(A) = (-1)^5+1 cdot 5 cdot 24 = 1 cdot 5 cdot 24 = 120
E finalmente, o determinante da matriz original:

Resposta

O determinante da matriz dada é .

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