Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o determinante de uma matriz 5x5. Isso está ligado ao conteúdo de álgebra linear, especificamente a parte que trata de determinantes. Para resolver, vamos usar a técnica de expansão por cofatores, escolhendo uma linha ou coluna que facilite os cálculos por ter mais zeros.
Percebemos que a primeira coluna tem muitos zeros, então ela é uma boa candidata para simplificar o cálculo usando a expansão por cofatores.
Passo 3
Vamos usar a regra de Sarrus ou a expansão por menores. Aqui, vamos optar pela expansão por cofatores na primeira coluna. A fórmula para o determinante usando a primeira coluna é:
det(A) = sumi=1^5 (-1)^i+1 cdot ai1 cdot Mi1
Onde são os elementos da primeira coluna e são os menores correspondentes.
Passo 4
Vamos calcular cada termo da soma:
Para : , então esse termo é zero.
Para : , também zero.
Para : , ainda zero.
Para : , zero de novo.
Para : . Esse é o único termo que não é zero.
Passo 5
Agora, vamos calcular o menor M51 = |cccc 0 & 0 & 0 & -3 0 & 0 & -4 & 0 0 & -1 & 0 & 0 2 & 0 & 0 & 0 | , que é a determinante da matriz que sobra após remover a 5ª linha e a 1ª coluna:
Essa matriz 4x4 também tem muitos zeros, então podemos expandir novamente.
Passo 6
Optamos por expandir det(M51) = sumi=1^4 (-1)^i+1 cdot ai1 cdot Mi1' pela primeira coluna:
Observando, apenas é diferente de zero.
Passo 7
Calculamos o menor M41' = |ccc 0 & 0 & -3 0 & -4 & 0 -1 & 0 & 0 | da matriz 3x3 que sobra:
Calcular esse determinante é direto, já que podemos expandir por qualquer linha ou coluna com zeros.
Passo 8
Expandindo det(M41') = 0 cdot cofator - 0 cdot cofator + (-3) cdot cofator pela primeira linha: