Dada a matriz A=[cccc1 & 5 & -1 & 3 -1 & 2 & -2 & 4 6 & 7 & 3 & -1 5 & 3 & 0 & 4], determine:
(d) det(A^-1);

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar o determinante da inversa da matriz , ou seja, . A matéria envolvida aqui é Álgebra Linear, especificamente o conceito de determinantes e propriedades de matrizes inversas. Para resolver isso, vamos precisar calcular o determinante da matriz e então usar a relação entre o determinante de uma matriz e o seu inverso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma propriedade importante dos determinantes: o determinante da inversa de uma matriz é o inverso do determinante da matriz original. Matematicamente, isso é representado por:
det(A^-1) = 1det(A)
Então, nosso objetivo agora é calcular .

Passo 3

Vamos calcular o determinante da matriz A = 1 & 5 & -1 & 3 -1 & 2 & -2 & 4 6 & 7 & 3 & -1 5 & 3 & 0 & 4 :
Para uma matriz , o cálculo do determinante pode ser feito usando a eliminação de Gauss para transformar a matriz em uma matriz triangular superior, onde o determinante será o produto dos elementos da diagonal principal.

Passo 4

Etapa 1: Tornar zeros abaixo do elemento 0 & 7 & -3 & 7 .
  • Linha 2: 0 & -23 & 9 & -19
0 & -22 & 5 & -11
  • Linha 3: 1 & 5 & -1 & 3 0 & 7 & -3 & 7 0 & -23 & 9 & -19 0 & -22 & 5 & -11
  • Linha 4:
A matriz fica assim:

Passo 5

Etapa 2: Tornar zeros abaixo do elemento 0 & 0 & -67 & 4 .
  • Linha 3: 0 & 0 & -317 & 11
1 & 5 & -1 & 3 0 & 7 & -3 & 7 0 & 0 & -67 & 4 0 & 0 & -317 & 11
  • Linha 4:
Agora, a matriz fica:

Passo 6

Etapa 3: Tornar zero abaixo do elemento 0 & 0 & 0 & -293 .
  • Linha 4: 1 & 5 & -1 & 3 0 & 7 & -3 & 7 0 & 0 & -67 & 4 0 & 0 & 0 & -293
Agora, a matriz triangular superior é:

Passo 7

O determinante de uma matriz triangular superior é o produto dos elementos da diagonal principal. Então:
det(A) = 1 times 7 times (-67) times (-293) = 1 times 7 times (-67) times (-293)
Simplificando:
det(A) = 1 times (-6) times (-293) = 6 times 293 = 2 times 29 = 58

Resposta

det(A^-1) = 158

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