a) pelo método de expansão por cofatores (Laplace);
b) por aplicação de operações elementares (triangularização).
Passo 1
Fala aí! Vamos calcular o determinante da matriz usando dois métodos diferentes: a) expansão por cofatores (Laplace) e b) operações elementares (triangularização). Primeiro, vamos entender o que é determinante e porque ele é importante. O determinante de uma matriz quadrada é um número que, entre outras coisas, nos diz se a matriz tem inversa (se o determinante for diferente de zero) e está relacionado ao volume de transformações lineares representadas pela matriz. Para resolver isso, vamos precisar conhecer a definição de determinante e como aplicá-la usando os métodos mencionados.
a) Método de Expansão por Cofatores (Laplace)
Passo 2
Vamos começar com o método de expansão por cofatores. Esse método envolve escolher uma linha ou coluna da matriz e expandir o determinante em termos de menores e cofatores. Menores são determinantes de submatrizes obtidas removendo a linha e coluna de um elemento específico, e cofatores são esses menores multiplicados por , onde e são os índices da linha e coluna do elemento.
Passo 3
Para simplificar a conta, vamos escolher a primeira linha da matriz A = 1 & 0 & 2 & 2 2 & 0 & 2 & 3 3 & 1 & 3 & 4 1 & 1 & -1 & 6 para expandir, já que ela tem um elemento zero, o que facilita os cálculos. A matriz é:
Passo 4
A expansão do determinante pela primeira linha é dada por:
det(A) = a11C11 + a12C12 + a13C13 + a14C14
Onde são os elementos da matriz e são os cofatores correspondentes.
Passo 5
Vamos calcular cada termo da expansão:
Para 0 & 2 & 3 1 & 3 & 4 1 & -1 & 6 :
Removemos a primeira linha e primeira coluna, ficando com a submatriz:
0 & 2 & 3 1 & 3 & 4 1 & -1 & 6
O cofator 2 & 0 & 3 3 & 1 & 4 1 & 1 & 6
Para 2 & 0 & 3 3 & 1 & 4 1 & 1 & 6 :
Como o elemento é zero, esse termo cai na conta (não precisamos calcular o cofator).
Para 2 & 0 & 2 3 & 1 & 3 1 & 1 & -1 :
Removemos a primeira linha e terceira coluna:
2 & 0 & 2 3 & 1 & 3 1 & 1 & -1
O cofator
Para :
Removemos a primeira linha e quarta coluna:
O cofator
Passo 6
Agora vamos calcular os determinantes das menores:
Determinante para det 0 & 2 & 3 1 & 3 & 4 1 & -1 & 6 :
0 cdot det 3 & 4 -1 & 6 - 2 cdot det 1 & 4 1 & 6 + 3 cdot det 1 & 3 1 & -1
Vamos expandir esse determinante pela primeira linha:
b) Método de Operações Elementares (Triangularização)
Passo 8
Vamos agora calcular o determinante usando operações elementares para triangularizar a matriz. A ideia é transformar a matriz em uma forma triangular (superior ou inferior), onde todos os elementos abaixo (ou acima) da diagonal principal são zero. O determinante então é o produto dos elementos da diagonal, ajustado pelos fatores que multiplicamos as linhas durante as operações.
Agora, focamos na segunda coluna. Precisamos de um pivô diferente de zero. Observamos que a terceira linha tem um 1 na segunda coluna. Vamos trocar 1 & 0 & 2 & 2 0 & 1 & -3 & -2 0 & 0 & -2 & -1 0 & 1 & -3 & 4 com :
Nota: Trocar linhas multiplica o determinante por -1.
A matriz está agora em forma triangular superior. O determinante é o produto dos elementos da diagonal principal multiplicado pelos fatores das trocas de linha.
Diagonal principal:
Produto da diagonal:
Passo 14
Considerando que fizemos uma troca de linhas ( det(A) = -1 times (-12) = 12 com ), que multiplicou o determinante por -1, o determinante final é:
Resposta
O determinante da matriz é 12 pelos dois métodos utilizados.