Calcule o determinante da matriz:
a) pelo método de expansão por cofatores (Laplace);
b) por aplicação de operações elementares (triangularização).

Passo 1

Fala aí! Vamos calcular o determinante da matriz usando dois métodos diferentes: a) expansão por cofatores (Laplace) e b) operações elementares (triangularização). Primeiro, vamos entender o que é determinante e porque ele é importante. O determinante de uma matriz quadrada é um número que, entre outras coisas, nos diz se a matriz tem inversa (se o determinante for diferente de zero) e está relacionado ao volume de transformações lineares representadas pela matriz. Para resolver isso, vamos precisar conhecer a definição de determinante e como aplicá-la usando os métodos mencionados.

a) Método de Expansão por Cofatores (Laplace)

Passo 2

Vamos começar com o método de expansão por cofatores. Esse método envolve escolher uma linha ou coluna da matriz e expandir o determinante em termos de menores e cofatores. Menores são determinantes de submatrizes obtidas removendo a linha e coluna de um elemento específico, e cofatores são esses menores multiplicados por , onde e são os índices da linha e coluna do elemento.

Passo 3

Para simplificar a conta, vamos escolher a primeira linha da matriz para expandir, já que ela tem um elemento zero, o que facilita os cálculos. A matriz é:

Passo 4

A expansão do determinante pela primeira linha é dada por:
Onde são os elementos da matriz e são os cofatores correspondentes.

Passo 5

Vamos calcular cada termo da expansão:
  1. Para :
    • Removemos a primeira linha e primeira coluna, ficando com a submatriz:
    • O cofator
  2. Para :
    • Como o elemento é zero, esse termo cai na conta (não precisamos calcular o cofator).
  3. Para :
    • Removemos a primeira linha e terceira coluna:
    • O cofator
  4. Para :
    • Removemos a primeira linha e quarta coluna:
    • O cofator

Passo 6

Agora vamos calcular os determinantes das menores:
  1. Determinante para :
    Vamos expandir esse determinante pela primeira linha:
    Calculando:
    Então,
  2. Determinante para :
    Expandindo pela primeira linha:
    Calculando:
    Então,
  3. Determinante para :
    Expandindo pela primeira linha:
    Calculando:
    Então,

Passo 7

Agora substituímos os cofatores na expansão inicial:

b) Método de Operações Elementares (Triangularização)

Passo 8

Vamos agora calcular o determinante usando operações elementares para triangularizar a matriz. A ideia é transformar a matriz em uma forma triangular (superior ou inferior), onde todos os elementos abaixo (ou acima) da diagonal principal são zero. O determinante então é o produto dos elementos da diagonal, ajustado pelos fatores que multiplicamos as linhas durante as operações.

Passo 9

Começamos com a matriz :

Passo 10

Primeiro, queremos zerar os elementos abaixo do primeiro elemento da primeira coluna (1). Para isso:
Aplicando:

Passo 11

Agora, focamos na segunda coluna. Precisamos de um pivô diferente de zero. Observamos que a terceira linha tem um 1 na segunda coluna. Vamos trocar com :
Nota: Trocar linhas multiplica o determinante por -1.

Passo 12

Agora, vamos zerar o elemento abaixo do pivô na segunda coluna ( ). Fazemos:
Aplicando:

Passo 13

A matriz está agora em forma triangular superior. O determinante é o produto dos elementos da diagonal principal multiplicado pelos fatores das trocas de linha.
Diagonal principal:
Produto da diagonal:

Passo 14

Considerando que fizemos uma troca de linhas ( com ), que multiplicou o determinante por -1, o determinante final é:

Resposta

O determinante da matriz é 12 pelos dois métodos utilizados.

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