Determine a distância entre o ponto P e a reta r em cada caso.
(a) r: 4 x-3 y+6=0 e P=(2,3)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a distância entre o ponto P(2,3) e a reta r: 4x - 3y + 6 = 0. Isso está no conteúdo de Geometria Analítica, mais especificamente sobre a distância de um ponto a uma reta. A gente vai precisar da fórmula que calcula essa distância de forma direta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular a distância de um ponto (x0, y0) até uma reta dada pela equação Ax + By + C = 0. A fórmula é:
d = |A x0 + B y0 + C|raizA^2 + B^2
Essa fórmula basicamente usa os coeficientes da reta e as coordenadas do ponto para achar a distância perpendicular.

Passo 3

Agora, vamos identificar os valores na nossa equação. Na reta r: 4x - 3y + 6 = 0, temos:
  • A = 4
  • B = -3
  • C = 6
E o ponto P tem coordenadas (2, 3), então:
  • x0 = 2
  • y0 = 3

Passo 4

Vamos substituir esses valores na fórmula da distância:
d = |4 cdot 2 + (-3) cdot 3 + 6|raiz4^2 + (-3)^2
Vamos calcular o numerador primeiro:
4 cdot 2 = 8 -3 cdot 3 = -9 8 - 9 + 6 = 5
Então, o numerador fica |5| = 5.

Passo 5

Agora, vamos calcular o denominador:
raiz4^2 + (-3)^2 = raiz16 + 9 = raiz25 = 5

Resposta

Portanto, a distância entre o ponto P(2,3) e a reta r: 4x - 3y + 6 = 0 é:
d = 55 = 1
A distância é 1 unidade.

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