Sejam matrizes quadradas A e B de ordem 3 e C uma matriz quadrada de ordem 2, tais que:
det(A)=1, det(B)=2, e det(C)=3
Calcule:
a) det(2 A cdot B^-1);
b) det[llc3 & 3 c1 c4 & 3 c2], sabendo que C=[llc1 & c2 c3 & c4].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de determinantes de matrizes! Temos duas matrizes quadradas, det(A) = 1, det(B) = 2, det(C) = 3 e llc3 & 3 c1 c4 & 3 c2 de ordem 3, e uma matriz de ordem 2. A gente sabe que:
Agora, vamos calcular duas coisas:
a)
b)
Vamos usar propriedades de determinantes para resolver cada parte.

Passo 2

Parte a) Primeiro, vamos calcular det(2A cdot B^-1) = det(2A) cdot det(B^-1) .
Sabemos que o determinante do produto de matrizes é o produto dos determinantes, ou seja:

Passo 3

A gente também sabe que o determinante de uma matriz inversa é o inverso do determinante da matriz original:
det(B^-1) = 1det(B) = 12
E para o determinante de uma matriz multiplicada por um escalar, no caso det(2A) = 2^3 cdot det(A) = 8 cdot 1 = 8 , como é de ordem 3:

Passo 4

Agora, substituindo esses valores na expressão inicial:
det(2A cdot B^-1) = 8 cdot 12 = 4
Parte a) está resolvida!

Passo 5

Parte b) Agora, vamos calcular o determinante da matriz:
c3 & 3 c1 c4 & 3 c2
Primeiro, lembrando que o determinante de uma matriz 2x2 é dado por:
det( a & b c & d ) = a cdot d - b cdot c

Passo 6

Aplicando isso na nossa matriz:
det( c3 & 3 c1 c4 & 3 c2 ) = c3 cdot 3c2 - 3c1 cdot c4 = 3c3c2 - 3c1c4

Passo 7

Agora, podemos fatorar o 3:
3c3c2 - 3c1c4 = 3(c3c2 - c1c4)
E percebemos que det(C) = c1c4 - c2c3 = -(c3c2 - c1c4) é exatamente o determinante da matriz 3(c3c2 - c1c4) = -3 cdot det(C) :
Então:

Passo 8

Sabendo que -3 cdot det(C) = -3 cdot 3 = -9 :

Resposta

a) llc3 & 3 c1 c4 & 3 c2
b)

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