Sejam matrizes quadradas
e
de ordem 3 e
uma matriz quadrada de ordem 2, tais que:
Calcule:
a)
;
b)
, sabendo que
.
a)
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de determinantes de matrizes! Temos duas matrizes quadradas,
e
de ordem 3, e uma matriz
de ordem 2. A gente sabe que:
Agora, vamos calcular duas coisas:
a)
b)
a)
b)
Vamos usar propriedades de determinantes para resolver cada parte.
Passo 2
Parte a) Primeiro, vamos calcular
.
Sabemos que o determinante do produto de matrizes é o produto dos determinantes, ou seja:
Passo 3
A gente também sabe que o determinante de uma matriz inversa é o inverso do determinante da matriz original:
E para o determinante de uma matriz multiplicada por um escalar, no caso
, como
é de ordem 3:
Passo 4
Agora, substituindo esses valores na expressão inicial:
Parte a) está resolvida!
Passo 5
Parte b) Agora, vamos calcular o determinante da matriz:
Primeiro, lembrando que o determinante de uma matriz 2x2 é dado por:
Passo 6
Aplicando isso na nossa matriz:
Passo 7
Agora, podemos fatorar o 3:
E percebemos que
é exatamente o determinante da matriz
:
Então:
Passo 8
Sabendo que
:
Resposta
a)
b)