Sejam matrizes quadradas e de ordem 3 e uma matriz quadrada de ordem 2, tais que:
Calcule:
a) ;
b) , sabendo que .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de determinantes de matrizes! Temos duas matrizes quadradas, e de ordem 3, e uma matriz de ordem 2. A gente sabe que:
Agora, vamos calcular duas coisas:
a)
b)
Vamos usar propriedades de determinantes para resolver cada parte.

Passo 2

Parte a) Primeiro, vamos calcular .
Sabemos que o determinante do produto de matrizes é o produto dos determinantes, ou seja:

Passo 3

A gente também sabe que o determinante de uma matriz inversa é o inverso do determinante da matriz original:
E para o determinante de uma matriz multiplicada por um escalar, no caso , como é de ordem 3:

Passo 4

Agora, substituindo esses valores na expressão inicial:
Parte a) está resolvida!

Passo 5

Parte b) Agora, vamos calcular o determinante da matriz:
Primeiro, lembrando que o determinante de uma matriz 2x2 é dado por:

Passo 6

Aplicando isso na nossa matriz:

Passo 7

Agora, podemos fatorar o 3:
E percebemos que é exatamente o determinante da matriz :
Então:

Passo 8

Sabendo que :

Resposta

a)
b)

Exercícios relacionados

Calcule o determinante da matriz:
a) pelo método de expansão por cofatores (Laplace);
b) por aplicação de operações elementares (triangularização).
Determine a distância entre o ponto e a reta em cada caso.
(a) e
Determine a distância entre o ponto e a reta em cada caso.
(b) e
Determine onde e .