Calcule a inversa da matriz A=[ccc1 & 3 & 1 1 & 2 & 0 -2 & 0 & 3].

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a inversa da matriz 1 & 3 & 1 1 & 2 & 0 -2 & 0 & 3 . Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre matrizes e suas inversas. Para resolver isso, vamos precisar calcular o determinante da matriz e a matriz dos cofatores, além de entender como usar esses elementos para encontrar a inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o determinante da matriz det(A) = a11(a22a33 - a23a32) - a12(a21a33 - a23a31) + a13(a21a32 - a22a31) . O determinante é um número que nos ajuda a saber se a matriz é invertível e também a encontrar a inversa se existir. Para uma matriz 3x3, a gente usa a regra de Sarrus ou a expansão por menores. Aqui, vou usar a expansão por menores:
det(A) = 1(2 cdot 3 - 0 cdot (-2)) - 3(1 cdot 3 - 0 cdot (-2)) + 1(1 cdot 0 - 2 cdot (-2)) = 1(6 - 0) - 3(3 - 0) + 1(0 + 4) = 6 - 9 + 4 = 1
Aplicando os valores da matriz :

Passo 3

Como o determinante não é zero ( C11 = (+1)(2 cdot 3 - 0 cdot (-2)) = 6 ), a matriz C12 = (-1)(1 cdot 3 - 0 cdot (-2)) = -3 é invertível. Agora, vamos encontrar a matriz dos cofatores de C13 = (+1)(1 cdot 0 - 2 cdot (-2)) = 4 . Cada elemento dessa matriz é calculado tirando o menor correspondente e aplicando um sinal alternado.
Vamos calcular cada cofator:
C21 = (-1)(3 cdot 3 - 1 cdot (-2)) = -11
C22 = (+1)(1 cdot 3 - 1 cdot (-2)) = 5
C23 = (-1)(1 cdot 0 - 3 cdot (-2)) = -6
C31 = (+1)(3 cdot 0 - 2 cdot 1)) = -2
C32 = (-1)(1 cdot 0 - 2 cdot 1)) = 2
C33 = (+1)(1 cdot 2 - 3 cdot 1)) = -1
C = 6 & -3 & 4 -11 & 5 & -6 -2 & 2 & -1
Então, a matriz dos cofatores fica:

Passo 4

A próxima etapa é transpor a matriz dos cofatores para obter a matriz adjunta (ou adjugate) de adj(A) = C^T = 6 & -11 & -2 -3 & 5 & 2 4 & -6 & -1 . A transposição basicamente troca as linhas pelas colunas.
Então, a matriz adjunta é:

Passo 5

Agora que temos a matriz adjunta e o determinante, podemos encontrar a inversa da matriz A^-1 = 1det(A) cdot adj(A) usando a fórmula:
A^-1 = 1 cdot 6 & -11 & -2 -3 & 5 & 2 4 & -6 & -1 = 6 & -11 & -2 -3 & 5 & 2 4 & -6 & -1
Como , fica bem simples:

Resposta

A inversa da matriz A^-1 = 6 & -11 & -2 -3 & 5 & 2 4 & -6 & -1 é:

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