Dados vetores v=2 i-3 j+2 k e w=4 i-j+2 k, determinar:
(a) v times w
(b) O seno do ângulo entre v e w.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre vetores! A gente tem dois vetores, v e w, e precisamos calcular o produto vetorial deles e o seno do ângulo entre eles. Para isso, vamos usar conceitos de produto vetorial, produto escalar e magnitude de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto vetorial v times w. O produto vetorial entre dois vetores resulta em um novo vetor que é perpendicular a ambos. Para calcular, usamos a seguinte fórmula:
v times w = i & j & k vx & vy & vz wx & wy & wz

Passo 3

Substituindo os valores dos vetores v = 2i - 3j + 2k e w = 4i - j + 2k na fórmula, temos:
v times w = i & j & k 2 & -3 & 2 4 & -1 & 2
Calculando o determinante:
i cdot ((-3) cdot 2 - 2 cdot (-1)) - j cdot (2 cdot 2 - 2 cdot 4) + k cdot (2 cdot (-1) - (-3) cdot 4)
= i cdot (-6 + 2) - j cdot (4 - 8) + k cdot (-2 + 12)
= i cdot (-4) - j cdot (-4) + k cdot (10)
= -4i + 4j + 10k

Passo 4

Agora, vamos calcular o seno do ângulo entre v e w. Para isso, usamos a relação entre o produto vetorial e o seno do ângulo:
Onde |v times w| = |v| cdot |w| cdot sen(theta) e |v| são as magnitudes dos vetores, e |w| é o ângulo entre eles. Queremos encontrar , então rearranjamos a fórmula:

Passo 5

Vamos calcular as magnitudes dos vetores e do produto vetorial:
|v| = raiz2^2 + (-3)^2 + 2^2 = raiz4 + 9 + 4 = raiz17
|w| = raiz4^2 + (-1)^2 + 2^2 = raiz16 + 1 + 4 = raiz21
|v times w| = raiz(-4)^2 + 4^2 + 10^2 = raiz16 + 16 + 100 = raiz132 = 2raiz33
Então,

Resposta

(a) v times w = -4i + 4j + 10k
(b)

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