Dados vetores e , determinar:
(a)
(b) seno do ângulo entre e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre vetores! A gente tem dois vetores, e , e precisamos calcular o produto vetorial deles e o seno do ângulo entre eles. Para isso, vamos usar conceitos de produto vetorial, produto escalar e magnitude de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o produto vetorial . O produto vetorial entre dois vetores resulta em um novo vetor que é perpendicular a ambos. Para calcular, usamos a seguinte fórmula:
Passo 3
Substituindo os valores dos vetores v = 2i - 3j + 2k e w = 4i - j + 2k na fórmula, temos:
= i cdot (-6 + 2) - j cdot (4 - 8) + k cdot (-2 + 12)
= i cdot (-4) - j cdot (-4) + k cdot (10)
= -4i + 4j + 10k
Passo 4
Agora, vamos calcular o seno do ângulo entre v e w. Para isso, usamos a relação entre o produto vetorial e o seno do ângulo:
Onde |v times w| = |v| cdot |w| cdot sen(theta) e |v| são as magnitudes dos vetores, e |w| é o ângulo entre eles. Queremos encontrar , então rearranjamos a fórmula:
Passo 5
Vamos calcular as magnitudes dos vetores e do produto vetorial: