Beleza, vamos calcular o determinante da matriz . O conteúdo aqui é Álgebra Linear, especificamente o cálculo de determinantes de matrizes quadradas. Para resolver isso, vamos precisar conhecer métodos como expansão por menores ou, de forma mais prática para matrizes maiores, usar operações de linha para simplificar a matriz até que ela fique em forma triangular. Assim, facilitamos o cálculo do determinante.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na matriz :
Nossa ideia aqui é simplificar a matriz usando operações de linha (como somar ou subtrair linhas) para torná-la triangular superior. Quando a matriz fica triangular, o determinante é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal.
Passo 3
Vamos começar eliminando os elementos abaixo do primeiro elemento da primeira coluna (o 2 no canto superior esquerdo). Para isso, vamos usar a seguinte operação:
Subtrair a primeira linha da segunda linha.
Adicionar a primeira linha à terceira linha.
Subtrair a primeira linha da quarta linha.
Subtrair meia vez a primeira linha da quinta linha.
Vamos fazer isso:
Nova segunda linha:
Nova terceira linha:
Nova quarta linha:
Nova quinta linha:
Agora, a matriz fica assim:
Passo 4
Agora, vamos eliminar o elemento abaixo do primeiro elemento da segunda coluna (o 1 na segunda linha, segunda coluna). Para isso:
Subtrair a segunda linha da terceira linha multiplicada por 1.
Adicionar 7 vezes a segunda linha à quarta linha.
Adicionar 3.5 vezes a segunda linha à quinta linha.
Vamos fazer isso:
Nova terceira linha:
Nova quarta linha:
Nova quinta linha:
Agora, a matriz está assim:
Passo 5
Vamos eliminar o elemento abaixo do primeiro elemento da terceira coluna (o -51 na quarta linha, terceira coluna). Para isso, vamos simplificar a quarta e quinta linhas.
Primeiro, vamos ajustar a terceira linha para eliminar o 1 na primeira coluna:
Subtrair a primeira linha da terceira linha multiplicada por 0.5.
Agora, a matriz fica:
Passo 6
Agora, vamos focar na terceira coluna. Podemos simplificar a quarta e quinta linhas dividindo por -51 e -25.5 respectivamente para facilitar:
Simplificando as frações:
Agora, a matriz fica:
Passo 7
Agora, vamos eliminar o elemento da quinta linha, terceira coluna, que é igual ao da quarta linha. Podemos subtrair a quarta linha da quinta linha para zerar esse elemento:
Calculando :
Primeiro, vamos achar o denominador comum, que é 51:
Então:
Agora, a matriz é:
Passo 8
Agora, a matriz está quase triangular. Vamos finalizar simplificando a última coluna. Observamos que o elemento na quinta linha, quarta coluna é . O determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal principal, então multiplicamos:
Calculando passo a passo:
Simplificando a fração:
pode ser simplificada dividindo numerador e denominador por 17: