Obtenha a equação geral do plano que contém a reta , e que forme com o plano um ângulo de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação geral de um plano, chamado , que contém uma reta específica e que forma um ângulo de com outro plano dado, . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como equações de retas e planos, além de como calcular o ângulo entre dois planos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a reta que está dentro do plano que queremos encontrar. A reta é definida pelo sistema de equações:
Esse sistema nos dá as condições que os pontos da reta devem satisfazer. Para encontrar uma direção para a reta, podemos resolver esse sistema.

Passo 3

Vamos resolver o sistema para encontrar a direção da reta . Subtraindo 3 vezes a primeira equação da segunda:
Agora, substituindo na primeira equação:
Então, a direção da reta pode ser representada por um vetor diretor .

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a equação do plano que contém a reta . Sabemos que deve conter o vetor diretor da reta . Além disso, precisamos de outro vetor que também esteja no plano . Como a reta está no plano, qualquer vetor que seja linearmente independente de no plano servirá.

Passo 5

Para encontrar outro vetor no plano , vamos usar o fato de que o plano forma um ângulo de com o plano . A normal do plano é o vetor . O ângulo entre os planos é o mesmo que o ângulo entre suas normais. Portanto, vamos usar a fórmula do ângulo entre vetores:
Onde é a normal do plano que queremos encontrar.

Passo 6

Vamos agora determinar a normal do plano . Sabemos que contém a reta , então a normal deve ser perpendicular ao vetor diretor . Além disso, deve formar um ângulo de com .
Então temos duas condições:

Passo 7

Vamos chamar a normal do plano de . A primeira condição nos dá:
A segunda condição, sabendo que e , fica:
Essa equação é um pouco mais complexa, mas podemos relacioná-la com a equação (1).

Passo 8

Da equação (1), podemos expressar em termos de e :
Agora, substituímos na equação (2):
Simplificando:
Essa equação relaciona e . Para simplificar, vamos assumir valores para reduzir as incógnitas.

Passo 9

Vamos supor que para facilitar os cálculos. Então, da equação , temos . Substituindo na equação anterior:
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar o valor de .

Passo 10

Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Subtraindo de ambos os lados:

Passo 11

Agora que temos , podemos encontrar usando :
Então, os coeficientes da normal do plano são:
Para simplificar os valores, podemos multiplicar todos os componentes por 4 para eliminar as frações:

Passo 12

Agora, temos a normal do plano como . A equação geral de um plano é dada por:
Onde é um ponto no plano. Como a reta está no plano, podemos pegar um ponto dela. Por exemplo, quando , temos e da parametrização que fizemos anteriormente. Então, um ponto no plano é .

Passo 13

Substituindo na equação do plano:
Distribuindo:

Resposta

A equação geral do plano é:

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Sejam as retas: e .
© Se possível, determine a equação da reta que passa pelo ponto de intersecção das retas e , e que seja multuamente perpendicular a ambas.
Classifique cada uma das sentenças abaixo como verdadeiras ou falsas. Use argumentos teóricos para justificar suas respostas.
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