Obtenha a equação geral do plano
que contém a reta
, e que forme com o plano
um ângulo de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação geral de um plano, chamado
, que contém uma reta específica e que forma um ângulo de
com outro plano dado,
. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como equações de retas e planos, além de como calcular o ângulo entre dois planos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a reta
que está dentro do plano que queremos encontrar. A reta
é definida pelo sistema de equações:
Esse sistema nos dá as condições que os pontos da reta
devem satisfazer. Para encontrar uma direção para a reta, podemos resolver esse sistema.
Passo 3
Vamos resolver o sistema para encontrar a direção da reta
. Subtraindo 3 vezes a primeira equação da segunda:
Agora, substituindo
na primeira equação:
Então, a direção da reta
pode ser representada por um vetor diretor
.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar a equação do plano
que contém a reta
. Sabemos que
deve conter o vetor diretor
da reta
. Além disso, precisamos de outro vetor que também esteja no plano
. Como a reta está no plano, qualquer vetor que seja linearmente independente de
no plano servirá.
Passo 5
Para encontrar outro vetor no plano
, vamos usar o fato de que o plano forma um ângulo de
com o plano
. A normal do plano
é o vetor
. O ângulo entre os planos é o mesmo que o ângulo entre suas normais. Portanto, vamos usar a fórmula do ângulo entre vetores:
Onde
é a normal do plano
que queremos encontrar.
Passo 6
Vamos agora determinar a normal do plano
. Sabemos que
contém a reta
, então a normal
deve ser perpendicular ao vetor diretor
. Além disso,
deve formar um ângulo de
com
.
Então temos duas condições:
Passo 7
Vamos chamar a normal do plano
de
. A primeira condição nos dá:
A segunda condição, sabendo que
e
, fica:
Essa equação é um pouco mais complexa, mas podemos relacioná-la com a equação (1).
Passo 8
Da equação (1), podemos expressar
em termos de
e
:
Agora, substituímos
na equação (2):
Simplificando:
Essa equação relaciona
e
. Para simplificar, vamos assumir valores para reduzir as incógnitas.
Passo 9
Vamos supor que
para facilitar os cálculos. Então, da equação
, temos
. Substituindo na equação anterior:
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar o valor de
.
Passo 10
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Subtraindo
de ambos os lados:
Passo 11
Agora que temos
, podemos encontrar
usando
:
Então, os coeficientes da normal do plano
são:
Para simplificar os valores, podemos multiplicar todos os componentes por 4 para eliminar as frações:
Passo 12
Agora, temos a normal do plano
como
. A equação geral de um plano é dada por:
Onde
é um ponto no plano. Como a reta
está no plano, podemos pegar um ponto dela. Por exemplo, quando
, temos
e
da parametrização que fizemos anteriormente. Então, um ponto no plano é
.
Passo 13
Substituindo na equação do plano:
Distribuindo:
Resposta
A equação geral do plano
é:
Exercícios relacionados
Sejam as retas:
e
.
© Se possível, determine a equação da reta que passa pelo ponto de intersecção das retas
e
, e que seja multuamente perpendicular a ambas.
© Se possível, determine a equação da reta
Classifique cada uma das sentenças abaixo como verdadeiras ou falsas. Use argumentos teóricos para justificar suas respostas.
Obs: Respostas sem justificativas não serão consideradas.
© A reta é simultaneamente ortogonal as retas
Obs: Respostas sem justificativas não serão consideradas.
© A reta
Encontre os comprimentos dos lados do triângulo
. Ele um triângulo retângulo? É isócelos?
Calcule o determinante da matriz