Obtenha a equação geral do plano pi1 que contém a reta r:cx-2 y+2 z=0 3 x-5 y+7 z=0, e que forme com o plano pi2: x+z=0 um ângulo de 60^circ.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação geral de um plano, chamado pi1, que contém uma reta específica e que forma um ângulo de 60^circ com outro plano dado, pi2: x + z = 0. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como equações de retas e planos, além de como calcular o ângulo entre dois planos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a reta r que está dentro do plano que queremos encontrar. A reta r é definida pelo sistema de equações:
x - 2y + 2z = 0 3x - 5y + 7z = 0
Esse sistema nos dá as condições que os pontos da reta r devem satisfazer. Para encontrar uma direção para a reta, podemos resolver esse sistema.

Passo 3

Vamos resolver o sistema para encontrar a direção da reta r. Subtraindo 3 vezes a primeira equação da segunda:
3x - 5y + 7z = 0 -3(x - 2y + 2z) = 0 Rightarrow 3x - 5y + 7z - 3x + 6y - 6z = 0 Rightarrow y + z = 0 Rightarrow y = -z
Agora, substituindo y = -z na primeira equação:
x - 2(-z) + 2z = 0 x + 2z + 2z = 0 x + 4z = 0 Rightarrow x = -4z
Então, a direção da reta r pode ser representada por um vetor diretor d = (-4, -1, 1).

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a equação do plano pi1 que contém a reta r. Sabemos que pi1 deve conter o vetor diretor d da reta r. Além disso, precisamos de outro vetor que também esteja no plano pi1. Como a reta está no plano, qualquer vetor que seja linearmente independente de d no plano servirá.

Passo 5

Para encontrar outro vetor no plano pi1, vamos usar o fato de que o plano forma um ângulo de 60^circ com o plano pi2: x + z = 0. A normal do plano pi2 é o vetor n2 = (1, 0, 1). O ângulo entre os planos é o mesmo que o ângulo entre suas normais. Portanto, vamos usar a fórmula do ângulo entre vetores:
cos theta = n1 cdot n2|n1| |n2|
Onde n1 é a normal do plano pi1 que queremos encontrar.

Passo 6

Vamos agora determinar a normal do plano pi1. Sabemos que pi1 contém a reta r, então a normal n1 deve ser perpendicular ao vetor diretor d = (-4, -1, 1). Além disso, n1 deve formar um ângulo de 60^circ com n2 = (1, 0, 1).
Então temos duas condições:
  1. n1 cdot d = 0
  2. cos 60^circ = n1 cdot n2|n1| |n2|

Passo 7

Vamos chamar a normal do plano pi1 de n1 = (a, b, c). A primeira condição nos dá:
-4a - b + c = 0 (1)
A segunda condição, sabendo que cos 60^circ = 0.5 e |n2| = raiz1^2 + 0^2 + 1^2 = raiz2, fica:
0.5 = a cdot 1 + b cdot 0 + c cdot 1raiza^2 + b^2 + c^2 cdot raiz2 Rightarrow a + c = raiz22 raiza^2 + b^2 + c^2 (2)
Essa equação é um pouco mais complexa, mas podemos relacioná-la com a equação (1).

Passo 8

Da equação (1), podemos expressar c em termos de a e b:
c = 4a + b
Agora, substituímos c na equação (2):
a + (4a + b) = raiz22 raiza^2 + b^2 + (4a + b)^2
Simplificando:
5a + b = raiz22 raiza^2 + b^2 + 16a^2 + 8ab + b^2 Rightarrow 5a + b = raiz22 raiz17a^2 + 8ab + 2b^2
Essa equação relaciona a e b. Para simplificar, vamos assumir valores para reduzir as incógnitas.

Passo 9

Vamos supor que a = 1 para facilitar os cálculos. Então, da equação c = 4a + b, temos c = 4 + b. Substituindo na equação anterior:
5(1) + b = raiz22 raiz17(1)^2 + 8(1)b + 2b^2 5 + b = raiz22 raiz17 + 8b + 2b^2
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar o valor de b.

Passo 10

Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
(5 + b)^2 = (raiz22)^2 (17 + 8b + 2b^2) 25 + 10b + b^2 = 24 (17 + 8b + 2b^2) 25 + 10b + b^2 = 12 (17 + 8b + 2b^2) 25 + 10b + b^2 = 8.5 + 4b + b^2
Subtraindo b^2 de ambos os lados:
25 + 10b = 8.5 + 4b 25 - 8.5 + 10b - 4b = 0 16.5 + 6b = 0 6b = -16.5 b = -2.75

Passo 11

Agora que temos b = -2.75, podemos encontrar c usando c = 4 + b:
c = 4 + (-2.75) = 1.25
Então, os coeficientes da normal do plano pi1 são:
n1 = (1, -2.75, 1.25)
Para simplificar os valores, podemos multiplicar todos os componentes por 4 para eliminar as frações:
n1 = (4, -11, 5)

Passo 12

Agora, temos a normal do plano pi1 como n1 = (4, -11, 5). A equação geral de um plano é dada por:
a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0
Onde (x0, y0, z0) é um ponto no plano. Como a reta r está no plano, podemos pegar um ponto dela. Por exemplo, quando z = 1, temos x = -4 e y = -1 da parametrização que fizemos anteriormente. Então, um ponto no plano é (-4, -1, 1).

Passo 13

Substituindo na equação do plano:
4(x + 4) - 11(y + 1) + 5(z - 1) = 0
Distribuindo:
4x + 16 - 11y - 11 + 5z - 5 = 0 4x - 11y + 5z + (16 - 11 - 5) = 0 4x - 11y + 5z = 0

Resposta

A equação geral do plano pi1 é:
4x - 11y + 5z = 0

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