Resolva o seguinte sistema utilizando o Método de Gauss-Jordan
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de 3 equações com 3 incógnitas: , e . O conteúdo que vamos usar aqui é o Método de Gauss-Jordan, que ajuda a resolver esse tipo de sistema transformando as equações em uma matriz e fazendo operações para isolar as variáveis. Vamos precisar manipular a matriz aumentada do sistema para chegar na solução.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de uma matriz aumentada. Isso facilita as operações que vamos fazer:
Passo 3
Agora, queremos que o primeiro elemento da primeira linha (chamado de pivô) seja 1. Já está certinho! Vamos usar esse pivô para eliminar os valores abaixo dele na mesma coluna.
Para eliminar o 2 da segunda linha, fazemos:
E para eliminar o 3 da terceira linha:
Vamos calcular:
Para Linha_2:
Para Linha_3:
A matriz fica assim:
Passo 4
Agora, vamos trabalhar com o segundo pivô, que está na segunda linha e segunda coluna: . Queremos que ele seja 1, então dividimos toda a segunda linha por :
Nossa matriz fica:
Passo 5
Vamos usar o pivô 1 da segunda linha para eliminar o da terceira linha. Fazemos:
Calculando:
A matriz agora é:
Passo 6
Vamos tratar do último pivô, que está na terceira linha e terceira coluna: . Queremos que ele seja 1, então multiplicamos a terceira linha por :
Agora, a matriz está:
Passo 7
Com o pivô 1 na terceira linha, vamos eliminar os valores acima dele nas colunas correspondentes. Primeiro, na segunda linha:
Calculando:
Para a primeira linha:
Calculando:
A matriz fica:
Passo 8
Finalmente, vamos eliminar o 2 da primeira linha usando o pivô da segunda linha. Fazemos: