Resolva o seguinte sistema utilizando o Método de Gauss-Jordan
x+2 y+3 z & =-6 2 x-3 y-4 z & =15 3 x+4 y+5 z & =-8

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de 3 equações com 3 incógnitas: , e . O conteúdo que vamos usar aqui é o Método de Gauss-Jordan, que ajuda a resolver esse tipo de sistema transformando as equações em uma matriz e fazendo operações para isolar as variáveis. Vamos precisar manipular a matriz aumentada do sistema para chegar na solução.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de uma matriz aumentada. Isso facilita as operações que vamos fazer:
1 & 2 & 3 & | & -6 2 & -3 & -4 & | & 15 3 & 4 & 5 & | & -8

Passo 3

Agora, queremos que o primeiro elemento da primeira linha (chamado de pivô) seja 1. Já está certinho! Vamos usar esse pivô para eliminar os valores abaixo dele na mesma coluna.
Para eliminar o 2 da segunda linha, fazemos:
Linha2 = Linha2 - 2 times Linha1
E para eliminar o 3 da terceira linha:
Linha3 = Linha3 - 3 times Linha1
Vamos calcular:
Para Linha_2:
2 - 2 times 1 = 0, -3 - 2 times 2 = -7, -4 - 2 times 3 = -10, 15 - 2 times (-6) = 27
Para Linha_3:
3 - 3 times 1 = 0, 4 - 3 times 2 = -2, 5 - 3 times 3 = -4, -8 - 3 times (-6) = 10
A matriz fica assim:
1 & 2 & 3 & | & -6 0 & -7 & -10 & | & 27 0 & -2 & -4 & | & 10

Passo 4

Agora, vamos trabalhar com o segundo pivô, que está na segunda linha e segunda coluna: Linha2 = Linha2-7 Rightarrow 0 1 107 | -277 . Queremos que ele seja 1, então dividimos toda a segunda linha por 1 & 2 & 3 & | & -6 0 & 1 & 107 & | & -277 0 & -2 & -4 & | & 10 :
Nossa matriz fica:

Passo 5

Vamos usar o pivô 1 da segunda linha para eliminar o Linha3 = Linha3 + 2 times Linha2 da terceira linha. Fazemos:
0 + 2 times 0 = 0, -2 + 2 times 1 = 0, -4 + 2 times 107 = -4 + 207 = -87, 10 + 2 times (-277) = 10 - 547 = 167
Calculando:
1 & 2 & 3 & | & -6 0 & 1 & 107 & | & -277 0 & 0 & -87 & | & 167
A matriz agora é:

Passo 6

Vamos tratar do último pivô, que está na terceira linha e terceira coluna: Linha3 = Linha3 times (-78) Rightarrow 0 0 1 | -2 . Queremos que ele seja 1, então multiplicamos a terceira linha por 1 & 2 & 3 & | & -6 0 & 1 & 107 & | & -277 0 & 0 & 1 & | & -2 :
Agora, a matriz está:

Passo 7

Com o pivô 1 na terceira linha, vamos eliminar os valores acima dele nas colunas correspondentes. Primeiro, na segunda linha:
Linha2 = Linha2 - 107 times Linha3
Calculando:
0 - 107 times 0 = 0, 1 - 107 times 0 = 1, 107 - 107 times 1 = 0, -277 - 107 times (-2) = -277 + 207 = -77 = -1
Para a primeira linha:
Linha1 = Linha1 - 3 times Linha3
Calculando:
1 - 3 times 0 = 1, 2 - 3 times 0 = 2, 3 - 3 times 1 = 0, -6 - 3 times (-2) = -6 + 6 = 0
A matriz fica:
1 & 2 & 0 & | & 0 0 & 1 & 0 & | & -1 0 & 0 & 1 & | & -2

Passo 8

Finalmente, vamos eliminar o 2 da primeira linha usando o pivô da segunda linha. Fazemos:
Linha1 = Linha1 - 2 times Linha2
Calculando:
1 - 2 times 0 = 1, 2 - 2 times 1 = 0, 0 - 2 times 0 = 0, 0 - 2 times (-1) = 2
Nossa matriz final é:
1 & 0 & 0 & | & 2 0 & 1 & 0 & | & -1 0 & 0 & 1 & | & -2

Resposta

A solução do sistema é:
x = 2, y = -1, z = -2

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