Encontre os comprimentos dos lados do triângulo P Q R. Ele um triângulo retângulo? É isócelos? P(2,-1,0), Q(4,1,1), R(4,-5,4)

Passo 1

Beleza, então a gente tem que encontrar os comprimentos dos lados do triângulo PQR com os pontos P(2,-1,0), Q(4,1,1) e R(4,-5,4). Para isso, vamos usar a geometria analítica no espaço tridimensional. Precisamos da fórmula da distância no espaço para calcular os comprimentos dos lados. Depois, vamos verificar se o triângulo é retângulo e se é isósceles.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o comprimento do lado PQ. A fórmula da distância entre dois pontos no espaço é:
d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2
Aplicando os valores de P(2,-1,0) e Q(4,1,1):
PQ = raiz(4 - 2)^2 + (1 - (-1))^2 + (1 - 0)^2
PQ = raiz2^2 + 2^2 + 1^2
PQ = raiz4 + 4 + 1 = raiz9 = 3

Passo 3

Agora, vamos calcular o comprimento do lado PR usando a mesma fórmula. Com os pontos P(2,-1,0) e R(4,-5,4):
PR = raiz(4 - 2)^2 + (-5 - (-1))^2 + (4 - 0)^2
PR = raiz2^2 + (-4)^2 + 4^2
PR = raiz4 + 16 + 16 = raiz36 = 6

Passo 4

Finalmente, vamos calcular o comprimento do lado QR com os pontos Q(4,1,1) e R(4,-5,4):
QR = raiz(4 - 4)^2 + (-5 - 1)^2 + (4 - 1)^2
QR = raiz0^2 + (-6)^2 + 3^2
QR = raiz0 + 36 + 9 = raiz45 = 3raiz5 approx 6,708

Passo 5

Agora que temos os comprimentos dos lados: PQ = 3, PR = 6 e QR approx 6,708, vamos verificar se o triângulo é retângulo. Um triângulo é retângulo se o quadrado de um lado é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados.
Vamos ver:
PR^2 = 6^2 = 36
PQ^2 + QR^2 = 3^2 + (3raiz5)^2 = 9 + 45 = 54
Como 36 neq 54, o triângulo não é retângulo.

Passo 6

Agora, vamos verificar se o triângulo é isósceles. Um triângulo é isósceles se pelo menos dois lados têm o mesmo comprimento.
Observando os lados:
  • PQ = 3
  • PR = 6
  • QR approx 6,708
Nenhum dos lados tem comprimentos iguais. Portanto, o triângulo não é isósceles.

Resposta

Os comprimentos dos lados do triângulo PQR são PQ = 3, PR = 6 e QR approx 6,708. O triângulo não é retângulo nem isósceles.

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