Calcule o determinante da matriz A=(ccccc4 & 1 & 0 & -2 & 0 -2 & 0 & 0 & 3 & 1 1 & 7 & 0 & 10 & 4 6 & -1 & 4 & 2 & 8 1 & 3 & 0 & -1 & 0).

Passo 1

Beleza, vamos calcular o determinante da matriz , que é uma matriz de ordem 5x5. O determinante é um número que nos dá informações importantes sobre a matriz, como se ela tem um inverso. Para resolver isso, vamos usar operações de linha para simplificar a matriz até ficar mais fácil de calcular o determinante. Vamos precisar lembrar que trocar linhas altera o sinal do determinante e multiplicar uma linha por um escalar multiplica o determinante por esse escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz A = 4 & 1 & 0 & -2 & 0 -2 & 0 & 0 & 3 & 1 1 & 7 & 0 & 10 & 4 6 & -1 & 4 & 2 & 8 1 & 3 & 0 & -1 & 0 para facilitar nossa visualização:

Passo 3

Nosso objetivo é transformar em uma matriz triangular superior (onde todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero). Isso facilita muito o cálculo do determinante, pois será apenas o produto dos elementos da diagonal principal.

Passo 4

Vamos começar zerando o elemento abaixo do primeiro elemento da diagonal principal, ou seja, o -2 na posição (2,1). Para isso, podemos adicionar a primeira linha multiplicada por R2 = R2 + (12) R1 à segunda linha:
R2: -2 + (12 times 4) = -2 + 2 = 0 0 + (12 times 1) = 0 + 0.5 = 0.5 0 + (12 times 0) = 0 3 + (12 times -2) = 3 -1 = 2 1 + (12 times 0) = 1
Fazendo isso:
R2 = 0 & 0.5 & 0 & 2 & 1
Então, a nova segunda linha fica:

Passo 5

Agora, vamos zerar o elemento na posição (3,1), que é 1. Para isso, podemos subtrair R3 = R3 - (14) R1 da primeira linha da terceira linha:
1 - (14 times 4) = 1 -1 = 0 7 - (14 times 1) = 7 - 0.25 = 6.75 0 - (14 times 0) = 0 10 - (14 times -2) = 10 + 0.5 = 10.5 4 - (14 times 0) = 4
Fazendo isso:
R3 = 0 & 6.75 & 0 & 10.5 & 4
Então, a nova terceira linha fica:

Passo 6

Vamos continuar zerando os elementos abaixo da diagonal principal. Zeramos a primeira coluna, agora vamos para a segunda coluna. Olhamos para a nova segunda linha, onde o elemento na posição (2,2) é 0.5. Vamos usá-lo para zerar os elementos abaixo.
Primeiro, zeramos o elemento na posição (4,2), que é -1. Podemos adicionar 2 vezes a segunda linha à quarta linha:
R4 = R4 + 2 times R2
Fazendo isso:
6 + 2 times 0 = 6 -1 + 2 times 0.5 = -1 +1 = 0 4 + 2 times 0 = 4 2 + 2 times 2 = 2 +4 =6 8 + 2 times 1 =8 +2=10
Então, a nova quarta linha fica:
R4 = 6 & 0 & 4 &6 &10

Passo 7

Agora, vamos zerar o elemento na posição (5,2), que é 3. Para isso, subtraímos 6 vezes a segunda linha da quinta linha:
R5 = R5 - 6 times R2
Fazendo isso:
1 - 6 times 0 =1 3 - 6 times 0.5 =3 -3=0 0 - 6 times 0 =0 -1 -6 times 2 =-1 -12=-13 0 -6 times1=0 -6=-6
Então, a nova quinta linha fica:
R5 = 1 & 0 & 0 & -13 & -6

Passo 8

Agora que temos zeros abaixo da diagonal principal até a segunda coluna, vamos continuar para a terceira coluna. Observamos que na terceira linha, o elemento na posição (3,3) já é 0. Vamos utilizar a quarta linha para criar um pivô na posição (4,3).
Vamos trocar a terceira e a quarta linha para trazer um elemento diferente de zero para a posição (3,3):
R3 rightarrow R4
Após a troca, a matriz fica:
4 & 1 & 0 & -2 & 0 0 & 0.5 & 0 & 2 & 1 6 & 0 & 4 &6 &10 0 & 6.75 & 0 &10.5 &4 1 & 0 & 0 &-13 &-6

Passo 9

Agora, vamos usar o elemento (3,3), que é 4, para zerar os elementos abaixo dele na terceira coluna. Primeiro, zeramos o elemento na posição (4,3):
R4 = R4 - (04) R3
Como o elemento já é 0, nenhuma alteração é necessária.
Em seguida, zeramos o elemento na posição (5,3), que é 0. Como já é zero, nenhuma alteração é necessária.

Passo 10

Com a matriz agora em forma triangular superior, podemos calcular o determinante multiplicando os elementos da diagonal principal:
det(A) = 4 times 0.5 times 4 times 10.5 times (-6)
Calculando passo a passo:
4 times 0.5 = 2 2 times 4 = 8 8 times 10.5 = 84 84 times (-6) = -504

Resposta

O determinante da matriz é .

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