Beleza, vamos calcular o determinante da matriz , que é uma matriz de ordem 5x5. O determinante é um número que nos dá informações importantes sobre a matriz, como se ela tem um inverso. Para resolver isso, vamos usar operações de linha para simplificar a matriz até ficar mais fácil de calcular o determinante. Vamos precisar lembrar que trocar linhas altera o sinal do determinante e multiplicar uma linha por um escalar multiplica o determinante por esse escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a matriz para facilitar nossa visualização:
Passo 3
Nosso objetivo é transformar em uma matriz triangular superior (onde todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero). Isso facilita muito o cálculo do determinante, pois será apenas o produto dos elementos da diagonal principal.
Passo 4
Vamos começar zerando o elemento abaixo do primeiro elemento da diagonal principal, ou seja, o -2 na posição (2,1). Para isso, podemos adicionar a primeira linha multiplicada por à segunda linha:
Fazendo isso:
Então, a nova segunda linha fica:
Passo 5
Agora, vamos zerar o elemento na posição (3,1), que é 1. Para isso, podemos subtrair da primeira linha da terceira linha:
Fazendo isso:
Então, a nova terceira linha fica:
Passo 6
Vamos continuar zerando os elementos abaixo da diagonal principal. Zeramos a primeira coluna, agora vamos para a segunda coluna. Olhamos para a nova segunda linha, onde o elemento na posição (2,2) é 0.5. Vamos usá-lo para zerar os elementos abaixo.
Primeiro, zeramos o elemento na posição (4,2), que é -1. Podemos adicionar 2 vezes a segunda linha à quarta linha:
Fazendo isso:
Então, a nova quarta linha fica:
Passo 7
Agora, vamos zerar o elemento na posição (5,2), que é 3. Para isso, subtraímos 6 vezes a segunda linha da quinta linha:
Fazendo isso:
Então, a nova quinta linha fica:
Passo 8
Agora que temos zeros abaixo da diagonal principal até a segunda coluna, vamos continuar para a terceira coluna. Observamos que na terceira linha, o elemento na posição (3,3) já é 0. Vamos utilizar a quarta linha para criar um pivô na posição (4,3).
Vamos trocar a terceira e a quarta linha para trazer um elemento diferente de zero para a posição (3,3):
Após a troca, a matriz fica:
Passo 9
Agora, vamos usar o elemento (3,3), que é 4, para zerar os elementos abaixo dele na terceira coluna. Primeiro, zeramos o elemento na posição (4,3):
Como o elemento já é 0, nenhuma alteração é necessária.
Em seguida, zeramos o elemento na posição (5,3), que é 0. Como já é zero, nenhuma alteração é necessária.
Passo 10
Com a matriz agora em forma triangular superior, podemos calcular o determinante multiplicando os elementos da diagonal principal: