Dada a transformaçāo Linear . Determinar os autovalores e auto vetores associados a essa transformação.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma transformação linear definida por . Nosso objetivo aqui é encontrar os autovalores e os autovetores dessa transformação. Pra isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre matrizes, determinantes e como encontrar esses valores especiais que caracterizam a transformação.
Passo 2
Primeiro, vamos representar a transformação linear como uma matriz, porque isso facilita muito os cálculos. Cada transformação linear pode ser associada a uma matriz que, quando multiplicada por um vetor, realiza a transformação.
A transformação dada é:
Podemos escrever isso como uma matriz A = 1 & 1 & 1 0 & 2 & 1 0 & 2 & 3 multiplicada pelo vetor :
Passo 3
Agora, para encontrar os autovalores ( det(A - lambda I) = 0 ) de I = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 , precisamos resolver a equação característica:
Podemos multiplicar ambos os lados por -1 para simplificar:
Passo 5
Agora, vamos resolver essa equação cúbica para encontrar os autovalores. Tentamos encontrar raízes racionais usando o Teorema das Raízes Racionais, que sugere testar divisores do termo constante sobre divisores do coeficiente líder. Aqui, testamos 1 - 6 + 7 - 2 = 0 :
Então, lambda = 5 pm raiz25 - 82 = 5 pm raiz172 é um autovalor. Agora, podemos fatorar lambda1 = 1, lambda2 = 5 + raiz172, lambda3 = 5 - raiz172 e simplificar a equação:
Resolvendo com a fórmula de Bhaskara:
Então, os autovalores são:
Passo 6
Com os autovalores em mãos, vamos encontrar os autovetores correspondentes. Para cada A - I = 0 & 1 & 1 0 & 1 & 1 0 & 2 & 2 , resolvemos 0x + y + z = 0 0x + y + z = 0 0x + 2y + 2z = 0 .