Dada a transformaçāo Linear T: R^3 nrightarrow R^3 T(x, y)=(x+y+z, 2 y+z, 2 y+3 z). Determinar os autovalores e auto vetores associados a essa transformação.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma transformação linear definida por . Nosso objetivo aqui é encontrar os autovalores e os autovetores dessa transformação. Pra isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre matrizes, determinantes e como encontrar esses valores especiais que caracterizam a transformação.

Passo 2

Primeiro, vamos representar a transformação linear T(x, y, z) = x + y + z 2y + z 2y + 3z como uma matriz, porque isso facilita muito os cálculos. Cada transformação linear pode ser associada a uma matriz que, quando multiplicada por um vetor, realiza a transformação.
A transformação dada é:
x y z
Podemos escrever isso como uma matriz A = 1 & 1 & 1 0 & 2 & 1 0 & 2 & 3 multiplicada pelo vetor :

Passo 3

Agora, para encontrar os autovalores ( det(A - lambda I) = 0 ) de I = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 , precisamos resolver a equação característica:
A - lambda I = 1 - lambda & 1 & 1 0 & 2 - lambda & 1 0 & 2 & 3 - lambda
Aqui, é a matriz identidade de ordem 3:
Então, fica:

Passo 4

Vamos calcular o determinante dessa matriz det(A - lambda I) = (1 - lambda) cdot det 2 - lambda & 1 2 & 3 - lambda - 1 cdot det 0 & 1 2 & 3 - lambda + 1 cdot det 0 & 2 - lambda 2 & 2 :
det 2 - lambda & 1 2 & 3 - lambda = (2 - lambda)(3 - lambda) - 2 cdot 1 = (6 - 5lambda + lambda^2) - 2 = lambda^2 - 5lambda + 4
Calculando cada determinante menor:
det 0 & 1 2 & 3 - lambda = 0 cdot (3 - lambda) - 2 cdot 1 = -2
det 0 & 2 - lambda 2 & 2 = 0 cdot 2 - 2 cdot (2 - lambda) = -4 + 2lambda
det(A - lambda I) = (1 - lambda)(lambda^2 - 5lambda + 4) - 1(-2) + 1(-4 + 2lambda)
Substituindo de volta:
= (1 - lambda)(lambda^2 - 5lambda + 4) + 2 - 4 + 2lambda
Simplificando:
= (lambda^2 - 5lambda + 4) - lambda(lambda^2 - 5lambda + 4) + 2lambda - 2
= lambda^2 - 5lambda + 4 - lambda^3 + 5lambda^2 - 4lambda + 2lambda - 2
= -lambda^3 + 6lambda^2 - 7lambda + 2
Agrupando os termos:
-lambda^3 + 6lambda^2 - 7lambda + 2 = 0
Então, a equação característica é:
lambda^3 - 6lambda^2 + 7lambda - 2 = 0
Podemos multiplicar ambos os lados por -1 para simplificar:

Passo 5

Agora, vamos resolver essa equação cúbica para encontrar os autovalores. Tentamos encontrar raízes racionais usando o Teorema das Raízes Racionais, que sugere testar divisores do termo constante sobre divisores do coeficiente líder. Aqui, testamos 1 - 6 + 7 - 2 = 0 :
lambda^3 - 6lambda^2 + 7lambda - 2 = (lambda - 1)(lambda^2 - 5lambda + 2) = 0
Então, lambda = 5 pm raiz25 - 82 = 5 pm raiz172 é um autovalor. Agora, podemos fatorar lambda1 = 1, lambda2 = 5 + raiz172, lambda3 = 5 - raiz172 e simplificar a equação:
Resolvendo com a fórmula de Bhaskara:
Então, os autovalores são:

Passo 6

Com os autovalores em mãos, vamos encontrar os autovetores correspondentes. Para cada A - I = 0 & 1 & 1 0 & 1 & 1 0 & 2 & 2 , resolvemos 0x + y + z = 0 0x + y + z = 0 0x + 2y + 2z = 0 .
Para v1 = s -t t = s 1 0 0 + t 0 -1 1 :
v1 = 0 -1 1
Resolvendo o sistema:
A - lambda2 I = 1 - lambda2 & 1 & 1 0 & 2 - lambda2 & 1 0 & 2 & 3 - lambda2
Isso resulta em A - lambda3 I = 1 - lambda3 & 1 & 1 0 & 2 - lambda3 & 1 0 & 2 & 3 - lambda3 , então . Podemos escolher , então . é livre, então .
Logo, o autovetor é:
Escolhendo e para simplificar, temos:
Para :
Resolvendo o sistema , encontramos um autovetor correspondente.
Para :
Novamente, resolvendo , obtemos o autovetor correspondente.

Resposta

Os autovalores da transformação lambda1 = 1, lambda2 = 5 + raiz172, lambda3 = 5 - raiz172 são:
v1 = 0 -1 1 , v2 e v3 correspondentes a lambda2 e lambda3
E os respectivos autovetores associados são:
(Note que os autovetores para e podem ser encontrados resolvendo os sistemas para cada autovalor.)

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