Dada a transformaçāo Linear . Determinar os autovalores e auto vetores associados a essa transformação.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma transformação linear definida por . Nosso objetivo aqui é encontrar os autovalores e os autovetores dessa transformação. Pra isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre matrizes, determinantes e como encontrar esses valores especiais que caracterizam a transformação.
Passo 2
Primeiro, vamos representar a transformação linear como uma matriz, porque isso facilita muito os cálculos. Cada transformação linear pode ser associada a uma matriz que, quando multiplicada por um vetor, realiza a transformação.
A transformação dada é:
Podemos escrever isso como uma matriz multiplicada pelo vetor :
Passo 3
Agora, para encontrar os autovalores () de , precisamos resolver a equação característica:
Aqui, é a matriz identidade de ordem 3:
Então, fica:
Passo 4
Vamos calcular o determinante dessa matriz :
Calculando cada determinante menor:
Substituindo de volta:
Simplificando:
Agrupando os termos:
Então, a equação característica é:
Podemos multiplicar ambos os lados por -1 para simplificar:
Passo 5
Agora, vamos resolver essa equação cúbica para encontrar os autovalores. Tentamos encontrar raízes racionais usando o Teorema das Raízes Racionais, que sugere testar divisores do termo constante sobre divisores do coeficiente líder. Aqui, testamos :
Então, é um autovalor. Agora, podemos fatorar e simplificar a equação:
Resolvendo com a fórmula de Bhaskara:
Então, os autovalores são:
Passo 6
Com os autovalores em mãos, vamos encontrar os autovetores correspondentes. Para cada , resolvemos .
Para :
Resolvendo o sistema:
Isso resulta em , então . Podemos escolher , então . é livre, então .
Logo, o autovetor é:
Escolhendo e para simplificar, temos:
Para :
Resolvendo o sistema , encontramos um autovetor correspondente.
Para :
Novamente, resolvendo , obtemos o autovetor correspondente.
Resposta
Os autovalores da transformação são:
E os respectivos autovetores associados são:
(Note que os autovetores para e podem ser encontrados resolvendo os sistemas para cada autovalor.)