Quais matrizes abaixo possuem inversa? Encontre as inversas das que possuem.
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Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a matriz e precisamos descobrir se ela possui inversa. Se ela tiver inversa, também vamos encontrá-la. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre matrizes invertíveis e determinantes.
Passo 2
Para verificar se uma matriz é invertível, precisamos calcular o seu determinante. Se o determinante for diferente de zero, a matriz tem inversa. Então, vamos calcular o determinante da matriz .
Passo 3
A matriz é uma matriz 3x3, e o determinante de uma matriz 3x3 é calculado da seguinte forma:
Aplicando isso à nossa matriz :
Passo 4
Vamos calcular cada parte separadamente:
Agora, somamos todos os resultados:
Passo 5
Como o determinante da matriz é 1, que é diferente de zero, isso significa que a matriz é invertível.
Passo 6
Agora, vamos encontrar a inversa da matriz . A fórmula para a inversa de uma matriz 3x3 é:
Onde é a matriz adjunta de . Para encontrar a adjunta, precisamos calcular a matriz dos cofatores e depois transpor essa matriz.
Passo 7
Primeiro, calculamos a matriz dos cofatores. Cada elemento da matriz dos cofatores é dado por , onde é o menor da matriz, que é o determinante da submatriz que sobra quando removemos a i-ésima linha e a j-ésima coluna.
Vamos calcular cada cofator:
Para :
Para :
Para :
Para :
Para :
Para :
Para :
Para :
Para :
Passo 8
Agora, montamos a matriz dos cofatores:
Em seguida, transponhamos essa matriz para obter a adjunta: