Quais matrizes abaixo possuem inversa? Encontre as inversas das que possuem.
d) D=(lll3 & 0 & 2 9 & 1 & 7 1 & 0 & 1).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a matriz 3 & 0 & 2 9 & 1 & 7 1 & 0 & 1 e precisamos descobrir se ela possui inversa. Se ela tiver inversa, também vamos encontrá-la. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre matrizes invertíveis e determinantes.

Passo 2

Para verificar se uma matriz é invertível, precisamos calcular o seu determinante. Se o determinante for diferente de zero, a matriz tem inversa. Então, vamos calcular o determinante da matriz .

Passo 3

A matriz a & b & c d & e & f g & h & i é uma matriz 3x3, e o determinante de uma matriz 3x3 det(D) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg) é calculado da seguinte forma:
det(D) = 3(1 cdot 1 - 7 cdot 0) - 0(9 cdot 1 - 7 cdot 1) + 2(9 cdot 0 - 1 cdot 1)
Aplicando isso à nossa matriz :

Passo 4

Vamos calcular cada parte separadamente:
3(1 cdot 1 - 7 cdot 0) = 3(1 - 0) = 3 times 1 = 3
-0(9 cdot 1 - 7 cdot 1) = -0(9 - 7) = -0 times 2 = 0
2(9 cdot 0 - 1 cdot 1) = 2(0 - 1) = 2 times (-1) = -2
Agora, somamos todos os resultados:
det(D) = 3 + 0 - 2 = 1

Passo 5

Como o determinante da matriz é 1, que é diferente de zero, isso significa que a matriz é invertível.

Passo 6

Agora, vamos encontrar a inversa da matriz D^-1 = 1det(D) cdot adj(D) . A fórmula para a inversa de uma matriz 3x3 é:
Onde é a matriz adjunta de . Para encontrar a adjunta, precisamos calcular a matriz dos cofatores e depois transpor essa matriz.

Passo 7

Primeiro, calculamos a matriz dos cofatores. Cada elemento da matriz dos cofatores é dado por M11 = 1 & 7 0 & 1 = (1)(1) - (7)(0) = 1 , onde C11 = (-1)^1+1 times 1 = 1 times 1 = 1 é o menor da matriz, que é o determinante da submatriz que sobra quando removemos a i-ésima linha e a j-ésima coluna.
Vamos calcular cada cofator:
Para M12 = 9 & 7 1 & 1 = (9)(1) - (7)(1) = 9 - 7 = 2 :
C12 = (-1)^1+2 times 2 = -1 times 2 = -2
M13 = 9 & 1 1 & 0 = (9)(0) - (1)(1) = 0 - 1 = -1
Para C13 = (-1)^1+3 times (-1) = 1 times (-1) = -1 :
M21 = 0 & 2 0 & 1 = (0)(1) - (2)(0) = 0
C21 = (-1)^2+1 times 0 = -1 times 0 = 0
Para M22 = 3 & 2 1 & 1 = (3)(1) - (2)(1) = 3 - 2 = 1 :
C22 = (-1)^2+2 times 1 = 1 times 1 = 1
M23 = 3 & 0 1 & 0 = (3)(0) - (0)(1) = 0 - 0 = 0
Para C23 = (-1)^2+3 times 0 = -1 times 0 = 0 :
M31 = 0 & 2 1 & 7 = (0)(7) - (2)(1) = 0 - 2 = -2
C31 = (-1)^3+1 times (-2) = 1 times (-2) = -2
Para M32 = 3 & 2 9 & 7 = (3)(7) - (2)(9) = 21 - 18 = 3 :
C32 = (-1)^3+2 times 3 = -1 times 3 = -3
M33 = 3 & 0 9 & 1 = (3)(1) - (0)(9) = 3 - 0 = 3
Para C33 = (-1)^3+3 times 3 = 1 times 3 = 3 :
Para :
Para :
Para :

Passo 8

Agora, montamos a matriz dos cofatores:
Cof(D) = 1 & -2 & -1 0 & 1 & 0 -2 & -3 & 3
Em seguida, transponhamos essa matriz para obter a adjunta:
adj(D) = 1 & 0 & -2 -2 & 1 & -3 -1 & 0 & 3

Passo 9

Finalmente, aplicamos a fórmula da inversa:
D^-1 = 1det(D) cdot adj(D) = 11 cdot 1 & 0 & -2 -2 & 1 & -3 -1 & 0 & 3 = 1 & 0 & -2 -2 & 1 & -3 -1 & 0 & 3

Resposta

A matriz D^-1 = 1 & 0 & -2 -2 & 1 & -3 -1 & 0 & 3 possui inversa, e a matriz inversa é:

Exercícios relacionados