Quais matrizes abaixo possuem inversa? Encontre as inversas das que possuem.
d) .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a matriz e precisamos descobrir se ela possui inversa. Se ela tiver inversa, também vamos encontrá-la. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre matrizes invertíveis e determinantes.

Passo 2

Para verificar se uma matriz é invertível, precisamos calcular o seu determinante. Se o determinante for diferente de zero, a matriz tem inversa. Então, vamos calcular o determinante da matriz .

Passo 3

A matriz é uma matriz 3x3, e o determinante de uma matriz 3x3 é calculado da seguinte forma:
Aplicando isso à nossa matriz :

Passo 4

Vamos calcular cada parte separadamente:
Agora, somamos todos os resultados:

Passo 5

Como o determinante da matriz é 1, que é diferente de zero, isso significa que a matriz é invertível.

Passo 6

Agora, vamos encontrar a inversa da matriz . A fórmula para a inversa de uma matriz 3x3 é:
Onde é a matriz adjunta de . Para encontrar a adjunta, precisamos calcular a matriz dos cofatores e depois transpor essa matriz.

Passo 7

Primeiro, calculamos a matriz dos cofatores. Cada elemento da matriz dos cofatores é dado por , onde é o menor da matriz, que é o determinante da submatriz que sobra quando removemos a i-ésima linha e a j-ésima coluna.
Vamos calcular cada cofator:
Para :
Para :
Para :
Para :
Para :
Para :
Para :
Para :
Para :

Passo 8

Agora, montamos a matriz dos cofatores:
Em seguida, transponhamos essa matriz para obter a adjunta:

Passo 9

Finalmente, aplicamos a fórmula da inversa:

Resposta

A matriz possui inversa, e a matriz inversa é:

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Sejam e matrizes quadradas de ordem . Verifique se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa e justifique suas respostas.
f) , então .
Quais matrizes abaixo possuem inversa? Encontre as inversas das que possuem.
b)
Dada a transformaçāo Linear . Determinar os autovalores e auto vetores associados a essa transformação.
Calcule o determinante da matriz .