Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o determinante dessa matriz 4x4:
Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente sobre determinantes de matrizes. Para resolver, vamos usar a expansão por menores, escolhendo uma linha que facilite os cálculos. Olhando a matriz, a segunda linha tem dois zeros, então ela é a melhor escolha para simplificar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona a expansão de determinantes. Para uma matriz 4x4, a expansão por menores consiste em multiplicar cada elemento da linha escolhida pelo determinante do menor correspondente, alternando os sinais. A fórmula geral é:
onde é o cofator do elemento .
Passo 3
Vamos aplicar isso na segunda linha da nossa matriz:
Os elementos da segunda linha são 1, 0, -2 e 0. Como os zeros vão zerar os termos correspondentes, só precisamos calcular os cofatores dos elementos 1 e -2.
Passo 4
Primeiro, vamos calcular o cofator do elemento 1 na posição (2,1). O sinal é positivo porque , mas já consideraremos o sinal na fórmula. O menor correspondente é a matriz 3x3 que sobra removendo a segunda linha e a primeira coluna:
Agora, precisamos calcular o determinante dessa matriz 3x3.
Passo 5
Vamos calcular o determinante da matriz 3x3 usando a regra de Sarrus:
Simplificando:
Então, o cofator é .
Passo 6
Agora, vamos calcular o cofator do elemento -2 na posição (2,3). O sinal, neste caso, é positivo porque , mas novamente consideramos isso na fórmula. O menor correspondente é a matriz 3x3 removendo a segunda linha e a terceira coluna:
Vamos calcular o determinante dessa matriz 3x3.
Passo 7
Usando a regra de Sarrus novamente:
Simplificando:
Então, o cofator é .
Resposta
Somando os cofatores, o determinante da matriz é .