Calcule o determinante da matriz [rrrr1 & 2 & 2 & 3 1 & 0 & -2 & 0 3 & -1 & 1 & -2 4 & -3 & 0 & 2].

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o determinante dessa matriz 4x4:
1 & 2 & 2 & 3 1 & 0 & -2 & 0 3 & -1 & 1 & -2 4 & -3 & 0 & 2
Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente sobre determinantes de matrizes. Para resolver, vamos usar a expansão por menores, escolhendo uma linha que facilite os cálculos. Olhando a matriz, a segunda linha tem dois zeros, então ela é a melhor escolha para simplificar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a expansão de determinantes. Para uma matriz 4x4, a expansão por menores consiste em multiplicar cada elemento da linha escolhida pelo determinante do menor correspondente, alternando os sinais. A fórmula geral é:
det(A) = ai1Ci1 + ai2Ci2 + ai3Ci3 + ai4Ci4
onde é o cofator do elemento .

Passo 3

Vamos aplicar isso na segunda linha da nossa matriz:
1 & 2 & 2 & 3 1 & 0 & -2 & 0 3 & -1 & 1 & -2 4 & -3 & 0 & 2
Os elementos da segunda linha são 1, 0, -2 e 0. Como os zeros vão zerar os termos correspondentes, só precisamos calcular os cofatores dos elementos 1 e -2.

Passo 4

Primeiro, vamos calcular o cofator do elemento 1 na posição (2,1). O sinal é positivo porque 2 & 2 & 3 -1 & 1 & -2 -3 & 0 & 2 , mas já consideraremos o sinal na fórmula. O menor correspondente é a matriz 3x3 que sobra removendo a segunda linha e a primeira coluna:
Agora, precisamos calcular o determinante dessa matriz 3x3.

Passo 5

Vamos calcular o determinante da matriz 3x3 usando a regra de Sarrus:
det = 2(1 cdot 2 - (-2) cdot 0) - 2(-1 cdot 2 - (-2) cdot (-3)) + 3(-1 cdot 0 - 1 cdot (-3))
Simplificando:
det = 2(2 - 0) - 2(-2 - 6) + 3(0 + 3) = 2 cdot 2 - 2 cdot (-8) + 3 cdot 3 = 4 + 16 + 9 = 29
Então, o cofator é .

Passo 6

Agora, vamos calcular o cofator do elemento -2 na posição (2,3). O sinal, neste caso, é positivo porque 1 & 2 & 3 3 & -1 & -2 4 & -3 & 2 , mas novamente consideramos isso na fórmula. O menor correspondente é a matriz 3x3 removendo a segunda linha e a terceira coluna:
Vamos calcular o determinante dessa matriz 3x3.

Passo 7

Usando a regra de Sarrus novamente:
det = 1(-1 cdot 2 - (-2) cdot (-3)) - 2(3 cdot 2 - (-2) cdot 4) + 3(3 cdot (-3) - (-1) cdot 4)
Simplificando:
det = 1(-2 - 6) - 2(6 - (-8)) + 3(-9 - (-4)) = 1(-8) - 2(14) + 3(-5) = -8 - 28 - 15 = -51
Então, o cofator é .

Resposta

Somando os cofatores, o determinante da matriz é .

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