Calcule o determinante da matriz .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o determinante dessa matriz 4x4:
Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente sobre determinantes de matrizes. Para resolver, vamos usar a expansão por menores, escolhendo uma linha que facilite os cálculos. Olhando a matriz, a segunda linha tem dois zeros, então ela é a melhor escolha para simplificar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a expansão de determinantes. Para uma matriz 4x4, a expansão por menores consiste em multiplicar cada elemento da linha escolhida pelo determinante do menor correspondente, alternando os sinais. A fórmula geral é:
onde é o cofator do elemento .

Passo 3

Vamos aplicar isso na segunda linha da nossa matriz:
Os elementos da segunda linha são 1, 0, -2 e 0. Como os zeros vão zerar os termos correspondentes, só precisamos calcular os cofatores dos elementos 1 e -2.

Passo 4

Primeiro, vamos calcular o cofator do elemento 1 na posição (2,1). O sinal é positivo porque , mas já consideraremos o sinal na fórmula. O menor correspondente é a matriz 3x3 que sobra removendo a segunda linha e a primeira coluna:
Agora, precisamos calcular o determinante dessa matriz 3x3.

Passo 5

Vamos calcular o determinante da matriz 3x3 usando a regra de Sarrus:
Simplificando:
Então, o cofator é .

Passo 6

Agora, vamos calcular o cofator do elemento -2 na posição (2,3). O sinal, neste caso, é positivo porque , mas novamente consideramos isso na fórmula. O menor correspondente é a matriz 3x3 removendo a segunda linha e a terceira coluna:
Vamos calcular o determinante dessa matriz 3x3.

Passo 7

Usando a regra de Sarrus novamente:
Simplificando:
Então, o cofator é .

Resposta

Somando os cofatores, o determinante da matriz é .

Exercícios relacionados

Seja . Se , calcule . (Observe que
Determine a condição em e para que o sistema abaixo admita solução:
Resolva o sistema
Dadas as retas e .
a) e são concorrentes? Se forem, determine o ponto de interseção.
b) O ponto pertence à alguma dessas duas retas? Justifique.
c) Escreva a expressão de um ponto arbitrário das retas e .
d) Determine uma equação vetorial para a reta que contém o ponto e é concorrente com e .
[Resposta: e são concorrente e é o ponto de interseção.