Determine a condição em e para que o sistema abaixo admita solução:

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem um sistema de três equações com três incógnitas , e , e precisamos descobrir quais condições os valores , e devem satisfazer para que esse sistema tenha pelo menos uma solução. Vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, tipo matrizes e determinantes, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar o sistema de equações de uma maneira que fique mais fácil de trabalhar. Vamos reescrever as equações para que todas as incógnitas fiquem do mesmo lado:

Passo 3

Agora, vamos colocar esse sistema na forma de uma matriz aumentada. A matriz dos coeficientes será:
E a matriz aumentada, incluindo os termos constantes , e , será:

Passo 4

Para que o sistema tenha pelo menos uma solução, o determinante da matriz dos coeficientes não pode ser zero. Vamos calcular esse determinante.
Calculando cada menor:
Então,

Passo 5

O determinante da matriz dos coeficientes é zero ( ), o que significa que o sistema pode ter infinitas soluções ou nenhuma, dependendo dos termos constantes , e . Para garantir que haja pelo menos uma solução, precisamos que os termos constantes sejam proporcionais aos coeficientes das variáveis.

Passo 6

Vamos formar o determinante aumentada com os termos constantes e verificar as condições para que o sistema seja compatível.
A condição é que o determinante da matriz aumentada também seja zero. Assim, teremos:
Ao calcular esse determinante, podemos estabelecer relações entre , e que devem ser satisfeitas para que o sistema tenha solução.

Resposta

As condições para que o sistema admita solução são que os valores , e satisfaçam a relação . Ou seja, para existir solução, deve-se ter:

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Determine a equaçâo do plano que contém o ponto e é paralelo ao plano .
Encontre a equação geral do plano que contém as retas r: e ;
Seja . Se , calcule . (Observe que
Calcule o determinante da matriz .