Determine a condição em a, b e c para que o sistema abaixo admita solução:
l x+2 y=a+3 z 3 x+2 z=y+b x+8 z=c+5 y

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem um sistema de três equações com três incógnitas , e , e precisamos descobrir quais condições os valores , e devem satisfazer para que esse sistema tenha pelo menos uma solução. Vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, tipo matrizes e determinantes, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar o sistema de equações de uma maneira que fique mais fácil de trabalhar. Vamos reescrever as equações para que todas as incógnitas fiquem do mesmo lado:
x + 2y - 3z = a 3x - y + 2z = b x - 5y + 8z = c

Passo 3

Agora, vamos colocar esse sistema na forma de uma matriz aumentada. A matriz dos coeficientes será:
1 & 2 & -3 3 & -1 & 2 1 & -5 & 8
E a matriz aumentada, incluindo os termos constantes 1 & 2 & -3 & | & a 3 & -1 & 2 & | & b 1 & -5 & 8 & | & c , e , será:

Passo 4

Para que o sistema tenha pelo menos uma solução, o determinante da matriz dos coeficientes não pode ser zero. Vamos calcular esse determinante.
Determinante = 1 cdot -1 & 2 -5 & 8 - 2 cdot 3 & 2 1 & 8 - 3 cdot 3 & -1 1 & -5
Calculando cada menor:
-1 & 2 -5 & 8 = (-1)(8) - (2)(-5) = -8 + 10 = 2
3 & 2 1 & 8 = (3)(8) - (2)(1) = 24 - 2 = 22
3 & -1 1 & -5 = (3)(-5) - (-1)(1) = -15 + 1 = -14
Então,
Determinante = 1 cdot 2 - 2 cdot 22 - 3 cdot (-14) = 2 - 44 + 42 = 0

Passo 5

O determinante da matriz dos coeficientes é zero ( ), o que significa que o sistema pode ter infinitas soluções ou nenhuma, dependendo dos termos constantes , e . Para garantir que haja pelo menos uma solução, precisamos que os termos constantes sejam proporcionais aos coeficientes das variáveis.

Passo 6

Vamos formar o determinante aumentada com os termos constantes e verificar as condições para que o sistema seja compatível.
A condição é que o determinante da matriz aumentada também seja zero. Assim, teremos:
1 & 2 & -3 & a 3 & -1 & 2 & b 1 & -5 & 8 & c = 0
Ao calcular esse determinante, podemos estabelecer relações entre , e que devem ser satisfeitas para que o sistema tenha solução.

Resposta

As condições para que o sistema admita solução são que os valores a = 2b + c3 , e satisfaçam a relação . Ou seja, para existir solução, deve-se ter:

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