Resolva o sistema lx+5 y+4 z-13 w=3 -2-y+5 w+2 z+3 x=0 1+4 w=3 z+2 x+2 y+3 z

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações passo a passo! O enunciado nos dá três equações com quatro variáveis: , , e . Para resolver isso, vamos usar métodos de álgebra linear, como substituição e eliminação, para encontrar os valores dessas variáveis. Primeiro, vamos organizar as equações de uma forma mais fácil de trabalhar.

Passo 2

Vamos reescrever as equações para facilitar a visualização:
  1. x + 5y + 4z - 13w = 3 3x - y + 2z + 5w = 2 2x + 2y + 6z - 4w = 1
  2. (Rearranjamos a segunda equação para organizar os termos)
  3. (Rearranjamos a terceira equação também)
Agora temos um sistema mais limpo:

Passo 3

Vamos começar eliminando uma variável para simplificar o sistema. Vamos eliminar 3x + 15y + 12z - 39w = 9 usando as primeiras duas equações. Para isso, podemos multiplicar a primeira equação por 3 e a segunda equação por 1, e depois subtrair:
Multiplicando a primeira equação por 3:
(3x + 15y + 12z - 39w) - (3x - y + 2z + 5w) = 9 - 2
Subtraindo a segunda equação:
16y + 10z - 44w = 7
16y + 10z - 44w = 7
Vamos chamar essa nova equação de Equação 4:

Passo 4

Agora, vamos eliminar 2x + 10y + 8z - 26w = 6 usando a primeira e a terceira equação. Multiplicamos a primeira equação por 2 e a terceira equação por 1, e depois subtraímos:
Multiplicando a primeira equação por 2:
(2x + 10y + 8z - 26w) - (2x + 2y + 6z - 4w) = 6 - 1
Subtraindo a terceira equação:
8y + 2z - 22w = 5
8y + 2z - 22w = 5
Vamos chamar essa nova equação de Equação 5:

Passo 5

Agora temos um sistema com duas equações e três variáveis:
16y + 10z - 44w = 7 (Equação 4) 8y + 2z - 22w = 5 (Equação 5) çãçã
Vamos simplificar a Equação 5 dividindo todos os termos por 2:
4y + z - 11w = 2.5
Agora, temos:
16y + 10z - 44w = 7 4y + z - 11w = 2.5

Passo 6

Vamos eliminar 40y + 10z - 110w = 25 multiplicando a segunda equação por 10:
(40y + 10z - 110w) - (16y + 10z - 44w) = 25 - 7
Agora, subtraímos a Equação 4 dessa nova equação:
24y - 66w = 18
4y - 11w = 3
Simplificando dividindo por 6:
4y - 11w = 3
Vamos chamar essa de Equação 6:

Passo 7

Agora, vamos resolver a Equação 6 para 4y = 11w + 3 y = 11w + 34 em termos de y = 11w + 34 :
Vamos chamar isso de Equação 7:

Passo 8

Com 4y + z - 11w = 2.5 em termos de 4(11w + 34) + z - 11w = 2.5 11w + 3 + z - 11w = 2.5 z + 3 = 2.5 z = -0.5 , vamos usar a Equação 5 simplificada para encontrar :
Lembrando:
Substituindo da Equação 7:

Passo 9

Agora que sabemos que y = 11w + 34 , podemos usar a Equação 7 para encontrar x + 5y + 4z - 13w = 3 :
x + 5(11w + 34) + 4(-0.5) - 13w = 3 x + 55w + 154 - 2 - 13w = 3 x + 55w + 15 - 8w4 = 5 x + 47w + 154 = 5 x = 5 - 47w + 154 x = 20 - 47w - 154 x = 5 - 47w4
Para continuar, precisamos de mais informações. Vamos usar a primeira equação original para expressar em termos de :
Substituindo e :

Passo 10

Agora, temos:
x = 5 - 47w4 y = 11w + 34 z = -0.5
Como temos quatro variáveis e apenas três equações, o sistema possui infinitas soluções, dependendo do valor que escolhermos para w = t . Vamos deixar x = 5 - 47t4 y = 11t + 34 z = -0.5 w = t como um parâmetro :
Então, as soluções são:

Resposta

As soluções do sistema são todas as quadruplas x = 5 - 47t4, y = 11t + 34, z = -0.5, w = t onde:
Para qualquer valor real escolhido para .

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