Resolva o sistema

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações passo a passo! O enunciado nos dá três equações com quatro variáveis: , , e . Para resolver isso, vamos usar métodos de álgebra linear, como substituição e eliminação, para encontrar os valores dessas variáveis. Primeiro, vamos organizar as equações de uma forma mais fácil de trabalhar.

Passo 2

Vamos reescrever as equações para facilitar a visualização:
  1. (Rearranjamos a segunda equação para organizar os termos)
  2. (Rearranjamos a terceira equação também)
Agora temos um sistema mais limpo:

Passo 3

Vamos começar eliminando uma variável para simplificar o sistema. Vamos eliminar usando as primeiras duas equações. Para isso, podemos multiplicar a primeira equação por 3 e a segunda equação por 1, e depois subtrair:
Multiplicando a primeira equação por 3:
Subtraindo a segunda equação:
Vamos chamar essa nova equação de Equação 4:

Passo 4

Agora, vamos eliminar usando a primeira e a terceira equação. Multiplicamos a primeira equação por 2 e a terceira equação por 1, e depois subtraímos:
Multiplicando a primeira equação por 2:
Subtraindo a terceira equação:
Vamos chamar essa nova equação de Equação 5:

Passo 5

Agora temos um sistema com duas equações e três variáveis:
çãçã
Vamos simplificar a Equação 5 dividindo todos os termos por 2:
Agora, temos:

Passo 6

Vamos eliminar multiplicando a segunda equação por 10:
Agora, subtraímos a Equação 4 dessa nova equação:
Simplificando dividindo por 6:
Vamos chamar essa de Equação 6:

Passo 7

Agora, vamos resolver a Equação 6 para em termos de :
Vamos chamar isso de Equação 7:

Passo 8

Com em termos de , vamos usar a Equação 5 simplificada para encontrar :
Lembrando:
Substituindo da Equação 7:

Passo 9

Agora que sabemos que , podemos usar a Equação 7 para encontrar :
Para continuar, precisamos de mais informações. Vamos usar a primeira equação original para expressar em termos de :
Substituindo e :

Passo 10

Agora, temos:
Como temos quatro variáveis e apenas três equações, o sistema possui infinitas soluções, dependendo do valor que escolhermos para . Vamos deixar como um parâmetro :
Então, as soluções são:

Resposta

As soluções do sistema são todas as quadruplas onde:
Para qualquer valor real escolhido para .

Exercícios relacionados

Calcule o determinante da matriz .
Seja . Se , calcule . (Observe que
Dadas as retas e .
a) e são concorrentes? Se forem, determine o ponto de interseção.
b) O ponto pertence à alguma dessas duas retas? Justifique.
c) Escreva a expressão de um ponto arbitrário das retas e .
d) Determine uma equação vetorial para a reta que contém o ponto e é concorrente com e .
[Resposta: e são concorrente e é o ponto de interseção.
Determine a equação cartesiana da reta que passa pelo ponto e é perpendicular à direção do vetor .