Dadas as retas
e
.
a)
e
são concorrentes? Se forem, determine o ponto de interseção.
b) O ponto
pertence à alguma dessas duas retas? Justifique.
c) Escreva a expressão de um ponto arbitrário das retas
e
.
d) Determine uma equação vetorial para a reta
que contém o ponto
e é concorrente com
e
.
[Resposta:
e
são concorrente e
é o ponto de interseção.
a)
b) O ponto
c) Escreva a expressão de um ponto arbitrário das retas
d) Determine uma equação vetorial para a reta
[Resposta:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a primeira parte do exercício. A questão pede para a gente verificar se as retas
e
são concorrentes, ou seja, se elas se cruzam em algum ponto. Se sim, precisamos descobrir qual é esse ponto de interseção. Para isso, vamos trabalhar com as equações paramétricas das retas e igualar as coordenadas para encontrar os valores dos parâmetros que fazem as retas se encontrarem.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as equações das retas:
-
A reta
é dada por: Isso significa que qualquer ponto nessa reta pode ser encontrado variando o parâmetro. -
A reta
é dada por: Aqui, qualquer ponto nadepende do parâmetro .
Para saber se as retas se cruzam, precisamos encontrar valores de
e
que tornem as coordenadas das duas retas iguais, ou seja:
Passo 3
Agora, vamos igualar cada componente das coordenadas:
-
Componente X:
-
Componente Y:
-
Componente Z:
Nosso objetivo é encontrar valores de
e
que satisfaçam essas três equações simultaneamente.
Passo 4
Vamos resolver o sistema de equações passo a passo.
Da Equação 1:
Podemos substituir
por
nas demais equações.
Substituindo na Equação 2:
Vamos simplificar:
Agora, encontrando
usando
:
Passo 5
Vamos verificar se esses valores satisfazem a Equação 3.
Substituindo
na Equação 3:
Isso não é verdadeiro. Parece que houve um erro nos cálculos anteriores. Vamos refazer.
Passo 6
Peço desculpas pelo erro. Vamos tentar outra abordagem para resolver o sistema.
Da Equação 1:
Substituindo na Equação 3:
Agora, encontrando
:
Passo 7
Vamos verificar se esses valores satisfazem a Equação 2.
Substituindo
e
na Equação 2:
Isso também não é verdadeiro, indicando que as retas não se encontram.
Resposta
Após resolver o sistema de equações, constatamos que não há valores de
e
que satisfaçam simultaneamente todas as três equações. Portanto, as retas
e
não são concorrentes, ou seja, elas não se interceptam em nenhum ponto.