Dadas as retas r1: X=(1,1,4)+lambda(2,1,-1) e r2: X=(0,3,1)+tau(1,4,2).
a) r1 e r2 são concorrentes? Se forem, determine o ponto de interseção.
b) O ponto P(2,-1,1) pertence à alguma dessas duas retas? Justifique.
c) Escreva a expressão de um ponto arbitrário das retas r1 e r2.
d) Determine uma equação vetorial para a reta r3 que contém o ponto P(2,-1,1) e é concorrente com r1 e r2.
[Resposta: r1 e r2 são concorrente e A(16, 113, 43) é o ponto de interseção. r3: X= (2,-1,1)+t(2,5,3)]

Passo 1

Beleza, vamos resolver a primeira parte do exercício. A questão pede para a gente verificar se as retas e são concorrentes, ou seja, se elas se cruzam em algum ponto. Se sim, precisamos descobrir qual é esse ponto de interseção. Para isso, vamos trabalhar com as equações paramétricas das retas e igualar as coordenadas para encontrar os valores dos parâmetros que fazem as retas se encontrarem.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as equações das retas:
  • A reta X = (1, 1, 4) + lambda (2, 1, -1) é dada por:
    X = (0, 3, 1) + tau (1, 4, 2)
    Isso significa que qualquer ponto nessa reta pode ser encontrado variando o parâmetro (1 + 2lambda, ; 1 + lambda, ; 4 - lambda) = (0 + tau, ; 3 + 4tau, ; 1 + 2tau) .
  • A reta é dada por:
    Aqui, qualquer ponto na depende do parâmetro .
Para saber se as retas se cruzam, precisamos encontrar valores de e que tornem as coordenadas das duas retas iguais, ou seja:

Passo 3

Agora, vamos igualar cada componente das coordenadas:
  1. Componente X:
    1 + 2lambda = tau (Equação 1) çã
  2. Componente Y:
    1 + lambda = 3 + 4tau (Equação 2) çã
  3. Componente Z:
    4 - lambda = 1 + 2tau (Equação 3) çã
Nosso objetivo é encontrar valores de e que satisfaçam essas três equações simultaneamente.

Passo 4

Vamos resolver o sistema de equações passo a passo.
Da Equação 1:
tau = 1 + 2lambda
Podemos substituir 1 + lambda = 3 + 4(1 + 2lambda) por 1 + lambda = 3 + 4 + 8lambda 1 + lambda = 7 + 8lambda 1 - 7 = 8lambda - lambda -6 = 7lambda lambda = -67 nas demais equações.
Substituindo na Equação 2:
tau = 1 + 2(-67) = 1 - 127 = 77 - 127 = -57
Vamos simplificar:
Agora, encontrando usando :

Passo 5

Vamos verificar se esses valores satisfazem a Equação 3.
Substituindo 4 - (-67) = 1 + 2(-57) 4 + 67 = 1 - 107 347 = 77 - 107 347 = -37 na Equação 3:
Isso não é verdadeiro. Parece que houve um erro nos cálculos anteriores. Vamos refazer.

Passo 6

Peço desculpas pelo erro. Vamos tentar outra abordagem para resolver o sistema.
Da Equação 1:
tau = 1 + 2lambda (Equação 1) çã
Substituindo na Equação 3:
4 - lambda = 1 + 2(1 + 2lambda) 4 - lambda = 1 + 2 + 4lambda 4 - lambda = 3 + 4lambda 4 - 3 = 4lambda + lambda 1 = 5lambda lambda = 15
Agora, encontrando tau = 1 + 2(15) = 1 + 25 = 75 :

Passo 7

Vamos verificar se esses valores satisfazem a Equação 2.
Substituindo 1 + 15 = 3 + 4(75) 65 = 3 + 285 65 = 155 + 285 65 = 435 e na Equação 2:
Isso também não é verdadeiro, indicando que as retas não se encontram.

Resposta

Após resolver o sistema de equações, constatamos que não há valores de e que satisfaçam simultaneamente todas as três equações. Portanto, as retas e não são concorrentes, ou seja, elas não se interceptam em nenhum ponto.

Exercícios relacionados