Seja A=[rr2 & 2 3 & -1]. Se f(x)=x^3-3 x^2-2 x+4, calcule f(A). (Observe que f(A)=A^3-3 A^2-2 A+4 I)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma matriz A = 2 & 2 3 & -1 e uma função polinomial f(x) = x^3 - 3x^2 - 2x + 4. O objetivo é calcular f(A), que na prática significa substituir x por A na função. Para isso, vamos precisar saber como multiplicar matrizes, calcular potências de matrizes e somar matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular A^2. Isso significa multiplicar a matriz A por ela mesma:
A^2 = A times A = 2 & 2 3 & -1 times 2 & 2 3 & -1
Fazendo a multiplicação:
A^2 = (2 times 2) + (2 times 3) & (2 times 2) + (2 times -1) (3 times 2) + (-1 times 3) & (3 times 2) + (-1 times -1) = 10 & 2 3 & 7

Passo 3

Agora, vamos calcular A^3, que é A times A^2:
A^3 = A times A^2 = 2 & 2 3 & -1 times 10 & 2 3 & 7
Multiplicando:
A^3 = (2 times 10) + (2 times 3) & (2 times 2) + (2 times 7) (3 times 10) + (-1 times 3) & (3 times 2) + (-1 times 7) = 26 & 18 27 & -1

Passo 4

Vamos multiplicar A^2 por 3:
3A^2 = 3 times 10 & 2 3 & 7 = 30 & 6 9 & 21

Passo 5

Agora, multiplicamos a matriz A por 2:
2A = 2 times 2 & 2 3 & -1 = 4 & 4 6 & -2

Passo 6

Vamos montar agora a expressão completa de f(A):
f(A) = A^3 - 3A^2 - 2A + 4I
Onde I é a matriz identidade 2x2:
I = 1 & 0 0 & 1
Substituindo os valores que já calculamos:
f(A) = 26 & 18 27 & -1 - 30 & 6 9 & 21 - 4 & 4 6 & -2 + 4 times 1 & 0 0 & 1
Vamos resolver cada operação de subtração e adição:
f(A) = 26 - 30 - 4 + 4 & 18 - 6 - 4 + 0 27 - 9 - 6 + 0 & -1 - 21 + 2 + 4 = -4 & 8 12 & -16

Resposta

Portanto, f(A) = -4 & 8 12 & -16.

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