Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o determinante de uma matriz 5x5 usando o algoritmo de escalonamento. Para isso, vamos precisar entender o que é determinante, como usar operações de linha para simplificar a matriz e como essas operações afetam o valor do determinante. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o determinante. O determinante é um número que podemos calcular a partir de uma matriz quadrada e que tem várias aplicações, como resolver sistemas de equações lineares e encontrar a inversa da matriz. Para matrizes maiores, como 5x5, calcular o determinante diretamente pode ser complicado, por isso usamos o método de escalonamento, que envolve operações nas linhas para transformar a matriz em uma forma triangular.
Passo 3
As operações de linha que podemos usar são:
Trocar duas linhas – isso muda o sinal do determinante.
Multiplicar uma linha por um escalar – isso multiplica o determinante por esse escalar.
Adicionar ou subtrair um múltiplo de uma linha a outra linha – isso não altera o determinante.
Nosso objetivo é usar essas operações para transformar a matriz em uma matriz triangular superior (com zeros abaixo da diagonal principal), e então calcular o determinante como o produto dos elementos da diagonal principal, ajustando conforme as operações que fizemos.
Passo 4
Vamos começar com a matriz dada:
Observamos que o elemento (1,1) é zero, o que pode complicar o escalonamento. Para facilitar, vamos trocar a primeira linha com a segunda linha. Lembre-se que trocar linhas multiplica o determinante por -1.
Após a troca:
Passo 5
Agora, vamos eliminar os elementos abaixo da primeira posição da primeira coluna. Para isso, subtrairemos múltiplos da primeira linha das demais linhas.
Linha 3:
Linha 4:
Linha 5:
Aplicando essas operações:
Passo 6
Agora, vamos focar na segunda coluna. O elemento (2,2) é 3. Nosso objetivo é zerar os elementos abaixo dele na mesma coluna.
Linha 3:
Linha 4:
Linha 5:
Aplicando essas operações:
Passo 7
Seguimos para a terceira coluna. O elemento (3,3) é -2. Vamos zerar os elementos abaixo dele.
Linha 4: Como já está zero, não precisamos fazer nada.
Linha 5: Não há nada a ser feito porque o elemento já está ajustado após operações anteriores.
Agora, a matriz está quase triangular. Vamos verificar a estrutura:
Passo 8
Vamos avançar para a quarta coluna. O elemento (4,4) é -2. Precisamos zerar o elemento abaixo dele na mesma coluna.
Linha 5:
Aplicando essa operação:
Agora, a matriz está completamente triangular superior.
Passo 9
Para calcular o determinante, observamos que ele é o produto dos elementos da diagonal principal. Porém, precisamos considerar o efeito das operações que fizemos:
Troca de linhas: multiplicou o determinante por -1.
Operações de adição de múltiplos de linhas: não alteram o determinante.
Multiplicação de linhas por escalar: neste caso, não multiplicamos nenhuma linha por um escalar diferente de 1, então não há efeito adicional.
Agora, calculamos o produto dos elementos da diagonal principal:
Agora, lembrando que trocamos as linhas no início, precisamos multiplicar o resultado por -1:
Resposta
O determinante da matriz é 36. Portanto, a opção correta é a (E) 36.