Calcule o determinante da matriz
Dica: Use algoritmo de cálculo do determinante via escalonamento.
(A) 41
(B) 39
© 37
(D) 42
(E) 36
(F) 38
(G) 40
(H) 35
(I) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o determinante de uma matriz 5x5 usando o algoritmo de escalonamento. Para isso, vamos precisar entender o que é determinante, como usar operações de linha para simplificar a matriz e como essas operações afetam o valor do determinante. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o determinante. O determinante é um número que podemos calcular a partir de uma matriz quadrada e que tem várias aplicações, como resolver sistemas de equações lineares e encontrar a inversa da matriz. Para matrizes maiores, como 5x5, calcular o determinante diretamente pode ser complicado, por isso usamos o método de escalonamento, que envolve operações nas linhas para transformar a matriz em uma forma triangular.

Passo 3

As operações de linha que podemos usar são:
  1. Trocar duas linhas – isso muda o sinal do determinante.
  2. Multiplicar uma linha por um escalar – isso multiplica o determinante por esse escalar.
  3. Adicionar ou subtrair um múltiplo de uma linha a outra linha – isso não altera o determinante.
Nosso objetivo é usar essas operações para transformar a matriz em uma matriz triangular superior (com zeros abaixo da diagonal principal), e então calcular o determinante como o produto dos elementos da diagonal principal, ajustando conforme as operações que fizemos.

Passo 4

Vamos começar com a matriz dada:
Observamos que o elemento (1,1) é zero, o que pode complicar o escalonamento. Para facilitar, vamos trocar a primeira linha com a segunda linha. Lembre-se que trocar linhas multiplica o determinante por -1.
Após a troca:

Passo 5

Agora, vamos eliminar os elementos abaixo da primeira posição da primeira coluna. Para isso, subtrairemos múltiplos da primeira linha das demais linhas.
  • Linha 3:
  • Linha 4:
  • Linha 5:
Aplicando essas operações:

Passo 6

Agora, vamos focar na segunda coluna. O elemento (2,2) é 3. Nosso objetivo é zerar os elementos abaixo dele na mesma coluna.
  • Linha 3:
  • Linha 4:
  • Linha 5:
Aplicando essas operações:

Passo 7

Seguimos para a terceira coluna. O elemento (3,3) é -2. Vamos zerar os elementos abaixo dele.
  • Linha 4: Como já está zero, não precisamos fazer nada.
  • Linha 5: Não há nada a ser feito porque o elemento já está ajustado após operações anteriores.
Agora, a matriz está quase triangular. Vamos verificar a estrutura:

Passo 8

Vamos avançar para a quarta coluna. O elemento (4,4) é -2. Precisamos zerar o elemento abaixo dele na mesma coluna.
  • Linha 5:
Aplicando essa operação:
Agora, a matriz está completamente triangular superior.

Passo 9

Para calcular o determinante, observamos que ele é o produto dos elementos da diagonal principal. Porém, precisamos considerar o efeito das operações que fizemos:
  • Troca de linhas: multiplicou o determinante por -1.
  • Operações de adição de múltiplos de linhas: não alteram o determinante.
  • Multiplicação de linhas por escalar: neste caso, não multiplicamos nenhuma linha por um escalar diferente de 1, então não há efeito adicional.
Agora, calculamos o produto dos elementos da diagonal principal:
Agora, lembrando que trocamos as linhas no início, precisamos multiplicar o resultado por -1:

Resposta

O determinante da matriz é 36. Portanto, a opção correta é a (E) 36.

Exercícios relacionados

Seja uma matriz quadrada . Considere as afirmativas abaixo:
I - O núcleo de é diferente de .
II - O conjunto de colunas de gera o .
(A) Todas são falsas,
(B) Apenas I é verdadeira.
© Apenas II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Não sei
Considere uma matriz cujas colunas são formadas pelos vetores . Seja uma matriz cujas colunas satisfazem: , e . Sabendo que , assinale o valor :
(A) 4
(B) 5
© 1
(D) 0
(E) 2
(F) -1
(G) -2
(H) 3
(I) Não sei
Dado o vetor , determinar o vator paralelo a que tenha:
o mesmo sentido de e módulo 2;
Dados os vetores e , calcular:
;