Seja A uma matriz quadrada n times n com det A neq 0. Considere as afirmativas abaixo:
I - O núcleo de A é diferente de 0.
II - O conjunto de colunas de A gera o R^n.
(A) Todas são falsas,
(B) Apenas I é verdadeira.
© Apenas II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Não sei

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma matriz quadrada de ordem com determinante diferente de zero ( ). Precisamos analisar duas afirmações sobre e identificar qual é a correta. Para isso, vamos precisar saber sobre núcleo (ou espaço nulo) e espaço coluna de uma matriz, além de entender o que significa o determinante ser diferente de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o núcleo de uma matriz. O núcleo de , denotado por ú, é o conjunto de todos os vetores tais que . Se o determinante de é diferente de zero, isso significa que é uma matriz invertível. E uma propriedade das matrizes invertíveis é que o único vetor que satisfaz é o vetor nulo . Portanto, o núcleo de é apenas .

Passo 3

Agora, vamos analisar o espaço coluna de uma matriz. O espaço coluna de é o conjunto de todas as combinações lineares das colunas de . Quando , isso implica que as colunas de são linearmente independentes e, consequentemente, elas geram todo o espaço . Ou seja, qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação das colunas de .

Resposta

Apenas a afirmação II é verdadeira. A resposta correta é a opção ©.

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