Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma matriz quadrada de ordem com determinante diferente de zero (). Precisamos analisar duas afirmações sobre e identificar qual é a correta. Para isso, vamos precisar saber sobre núcleo (ou espaço nulo) e espaço coluna de uma matriz, além de entender o que significa o determinante ser diferente de zero.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o núcleo de uma matriz. O núcleo de , denotado por , é o conjunto de todos os vetores tais que . Se o determinante de é diferente de zero, isso significa que é uma matriz invertível. E uma propriedade das matrizes invertíveis é que o único vetor que satisfaz é o vetor nulo . Portanto, o núcleo de é apenas .
Passo 3
Agora, vamos analisar o espaço coluna de uma matriz. O espaço coluna de é o conjunto de todas as combinações lineares das colunas de . Quando , isso implica que as colunas de são linearmente independentes e, consequentemente, elas geram todo o espaço . Ou seja, qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação das colunas de .