Seja
uma matriz quadrada
. Considere as afirmativas abaixo:
I - O núcleo de
é diferente de
.
II - O conjunto de colunas de
gera o
.
(A) Todas são falsas,
(B) Apenas I é verdadeira.
© Apenas II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Não sei
I - O núcleo de
II - O conjunto de colunas de
(A) Todas são falsas,
(B) Apenas I é verdadeira.
© Apenas II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Não sei
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma matriz quadrada
de ordem
com determinante diferente de zero (
). Precisamos analisar duas afirmações sobre
e identificar qual é a correta. Para isso, vamos precisar saber sobre núcleo (ou espaço nulo) e espaço coluna de uma matriz, além de entender o que significa o determinante ser diferente de zero.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o núcleo de uma matriz. O núcleo de
, denotado por
, é o conjunto de todos os vetores
tais que
. Se o determinante de
é diferente de zero, isso significa que
é uma matriz invertível. E uma propriedade das matrizes invertíveis é que o único vetor que satisfaz
é o vetor nulo
. Portanto, o núcleo de
é apenas
.
Passo 3
Agora, vamos analisar o espaço coluna de uma matriz. O espaço coluna de
é o conjunto de todas as combinações lineares das colunas de
. Quando
, isso implica que as colunas de
são linearmente independentes e, consequentemente, elas geram todo o espaço
. Ou seja, qualquer vetor em
pode ser escrito como uma combinação das colunas de
.
Resposta
Apenas a afirmação II é verdadeira. A resposta correta é a opção ©.