Considere A uma matriz cujas colunas são formadas pelos vetores a1, a2, a3 in R^3. Seja B uma matriz cujas colunas b1, b2, b3 satisfazem: b1=3 a1+6 a2+5 a3, b2=5 a1+7 a2+5 a3 e b3=2 a1+3 a2+2 a3. Sabendo que det(A)=-1, assinale o valor do det(B) :
(A) 4
(B) 5
© 1
(D) 0
(E) 2
(F) -1
(G) -2
(H) 3
(I) Não sei

Passo 1

Então, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos duas matrizes, e , onde as colunas de são combinações lineares das colunas de . Sabemos que o determinante de é e queremos encontrar o determinante de . Para resolver isso, vamos usar o conceito de determinantes e como eles se comportam quando aplicamos transformações lineares nas colunas de uma matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como b1 = 3a1 + 6a2 + 5a3, b2 = 5a1 + 7a2 + 5a3, b3 = 2a1 + 3a2 + 2a3 está relacionada a . As colunas de são combinações lineares das colunas de da seguinte forma:
Isso significa que podemos expressar como , onde é a matriz que representa essas combinações lineares.

Passo 3

Vamos montar a matriz M = 3 & 5 & 2 6 & 7 & 3 5 & 5 & 2 com os coeficientes das combinações lineares:
det(B) = det(A) cdot det(M)
Agora, sabemos que o determinante de pode ser encontrado usando a propriedade:
Já temos , então precisamos calcular .

Passo 4

Vamos calcular o determinante de det(M) = 3 cdot (7 cdot 2 - 3 cdot 5) - 5 cdot (6 cdot 2 - 3 cdot 5) + 2 cdot (6 cdot 5 - 7 cdot 5) :
= 3 cdot (14 - 15) - 5 cdot (12 - 15) + 2 cdot (30 - 35)
Calculando passo a passo:
= 3 cdot (-1) - 5 cdot (-3) + 2 cdot (-5)
= -3 + 15 - 10
= 2

Passo 5

Agora que temos det(B) = det(A) cdot det(M) = (-1) cdot 2 = -2 , podemos encontrar :

Resposta

(Opção G)

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