Calcule o determinante da matriz
[rrrrr 0 & 3 & 3 & 3 & 3 1 & 1 & 1 & 1 & 1 2 & -4 & -2 & -3 & -2 2 & 5 & 5 & 7 & 4 -2 & 4 & 4 & 5 & 3 ]
Dica: Use algoritmo de cálculo do determinante via escalonamento.
(A) 4
(B) 5
© 0
(D) 3
(E) -1
(F) 1
(G) 6
(H) 2
(I) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos calcular o determinante dessa matriz 5x5 que você me passou. A matéria envolvida aqui é o cálculo de determinantes usando o método de escalonamento, que basicamente transforma a matriz em uma forma mais simples para facilitar o cálculo. Para isso, vamos precisar fazer algumas operações com as linhas da matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz que vamos trabalhar:
0 & 3 & 3 & 3 & 3 1 & 1 & 1 & 1 & 1 2 & -4 & -2 & -3 & -2 2 & 5 & 5 & 7 & 4 -2 & 4 & 4 & 5 & 3

Passo 3

O próximo passo é tentar criar zeros abaixo do primeiro elemento da primeira coluna. Observamos que o primeiro elemento é zero, então vamos trocar a primeira linha com a segunda para facilitar os cálculos:
1 & 1 & 1 & 1 & 1 0 & 3 & 3 & 3 & 3 2 & -4 & -2 & -3 & -2 2 & 5 & 5 & 7 & 4 -2 & 4 & 4 & 5 & 3

Passo 4

Agora, vamos eliminar os elementos abaixo do primeiro pivô (1 na posição (1,1)) usando operações de linha:
  • Subtraímos 2 vezes a primeira linha da terceira linha:
Linha 3 = Linha 3 - 2 times Linha 1 Rightarrow [0, -6, -4, -5, -4]
  • Subtraímos 2 vezes a primeira linha da quarta linha:
Linha 4 = Linha 4 - 2 times Linha 1 Rightarrow [0, 3, 3, 5, 2]
  • Adicionamos 2 vezes a primeira linha à quinta linha:
Linha 5 = Linha 5 + 2 times Linha 1 Rightarrow [0, 6, 6, 7, 5]
A matriz fica assim:
1 & 1 & 1 & 1 & 1 0 & 3 & 3 & 3 & 3 0 & -6 & -4 & -5 & -4 0 & 3 & 3 & 5 & 2 0 & 6 & 6 & 7 & 5

Passo 5

Vamos agora focar na segunda coluna. Queremos que o segundo pivô seja 3 na posição (2,2). Vamos usar esse pivô para zerar os elementos abaixo dele:
  • Adicionamos 2 vezes a segunda linha à terceira linha:
Linha 3 = Linha 3 + 2 times Linha 2 Rightarrow [0, 0, 2, 1, 2]
  • Subtraímos a segunda linha da quarta linha:
Linha 4 = Linha 4 - Linha 2 Rightarrow [0, 0, 0, 2, -1]
  • Subtraímos 2 vezes a segunda linha da quinta linha:
Linha 5 = Linha 5 - 2 times Linha 2 Rightarrow [0, 0, 0, 1, -1]
A matriz agora é:
1 & 1 & 1 & 1 & 1 0 & 3 & 3 & 3 & 3 0 & 0 & 2 & 1 & 2 0 & 0 & 0 & 2 & -1 0 & 0 & 0 & 1 & -1

Passo 6

Vamos continuar escalonando. Na quarta coluna, temos um pivô de 2 na posição (4,4). Vamos zerar o elemento abaixo dele:
  • Subtraímos 0,5 vezes a quarta linha da quinta linha:
Linha 5 = Linha 5 - 0,5 times Linha 4 Rightarrow [0, 0, 0, 0, -0,5]
Agora, a matriz fica:
1 & 1 & 1 & 1 & 1 0 & 3 & 3 & 3 & 3 0 & 0 & 2 & 1 & 2 0 & 0 & 0 & 2 & -1 0 & 0 & 0 & 0 & -0,5

Passo 7

Com a matriz escalonada, o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal:
det(A) = 1 times 3 times 2 times 2 times (-0,5) = -6
Mas lembre-se que trocamos uma linha no início, o que muda o sinal do determinante. Então, o determinante final é:
det(A) = 6

Resposta

A resposta correta é (G) 6.

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