Considere as afirmativas abaixo:
I - Os autovalores de
são sempre iguais aos de
.
II - Sejam
uma matriz invertível,
um autovalor de
e
o respectivo autoespaço. Então
é autovalor de
e o autoespaço associado é
.
(A) Todas são falsas.
(B) Apenas I é verdadeira.
© Todas são verdadeiras.
(D) Apenas II é verdadeira.
(E) Não sei
I - Os autovalores de
II - Sejam
(A) Todas são falsas.
(B) Apenas I é verdadeira.
© Todas são verdadeiras.
(D) Apenas II é verdadeira.
(E) Não sei
Passo 1
Então, vamos resolver esse exercício sobre autovalores e matrizes! A gente tem duas afirmações sobre autovalores de matrizes e precisamos descobrir quais são verdadeiras. Pra isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre transposição de matrizes e inversas de matrizes. Vamos precisar entender o que são autovalores, autovetores, e como eles se comportam quando a matriz é transposta ou invertida.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a afirmação I: “Os autovalores de
são sempre iguais aos de
.” Para entender isso, lembre que a transposta de uma matriz não altera seus autovalores. Isso acontece porque o polinômio característico, que nos dá os autovalores, é o mesmo para
e
. Portanto, os autovalores de
são realmente iguais aos de
.
Passo 3
Agora, vamos para a afirmação II: “Sejam
uma matriz invertível,
um autovalor de
e
o respectivo autoespaço. Então
é autovalor de
e o autoespaço associado é
.”
Primeiro, se
é um autovalor de
, então existe um vetor não nulo
tal que
. Se
é invertível, podemos multiplicar ambos os lados por
, obtendo
, ou seja,
. Isso mostra que
é um autovalor de
e que o mesmo conjunto de vetores
(o autoespaço
) é o autoespaço correspondente para
.
Resposta
A opção correta é a © Todas são verdadeiras.