Considere as afirmativas abaixo:
I - Os autovalores de A^T são sempre iguais aos de A.
II - Sejam A uma matriz invertível, lambda um autovalor de A e H o respectivo autoespaço. Então lambda^-1 é autovalor de A^-1 e o autoespaço associado é H.
(A) Todas são falsas.
(B) Apenas I é verdadeira.
© Todas são verdadeiras.
(D) Apenas II é verdadeira.
(E) Não sei

Passo 1

Então, vamos resolver esse exercício sobre autovalores e matrizes! A gente tem duas afirmações sobre autovalores de matrizes e precisamos descobrir quais são verdadeiras. Pra isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre transposição de matrizes e inversas de matrizes. Vamos precisar entender o que são autovalores, autovetores, e como eles se comportam quando a matriz é transposta ou invertida.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a afirmação I: “Os autovalores de são sempre iguais aos de .” Para entender isso, lembre que a transposta de uma matriz não altera seus autovalores. Isso acontece porque o polinômio característico, que nos dá os autovalores, é o mesmo para e . Portanto, os autovalores de são realmente iguais aos de .

Passo 3

Agora, vamos para a afirmação II: “Sejam uma matriz invertível, um autovalor de e o respectivo autoespaço. Então é autovalor de e o autoespaço associado é .”
Primeiro, se é um autovalor de , então existe um vetor não nulo tal que . Se é invertível, podemos multiplicar ambos os lados por , obtendo , ou seja, . Isso mostra que é um autovalor de e que o mesmo conjunto de vetores (o autoespaço ) é o autoespaço correspondente para .

Resposta

A opção correta é a © Todas são verdadeiras.

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