Seja
uma matriz quadrada
. Considere as afirmativas abaixo:
I - O núcleo de
é diferente de
.
II - Para todo
o sistema linear
possui solução.
(A) Apenas I é verdadeira.
(B) Apenas II é verdadeira.
© Todas são verdadeiras.
(D) Todas são falsas.
(E) Não sei
I - O núcleo de
II - Para todo
(A) Apenas I é verdadeira.
(B) Apenas II é verdadeira.
© Todas são verdadeiras.
(D) Todas são falsas.
(E) Não sei
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma matriz quadrada
de ordem
com determinante diferente de zero (
). Precisamos analisar duas afirmações sobre
:
- I - O núcleo (ou espaço nulo) de
é diferente de apenas o vetor zero. - II - Para todo vetor
, o sistema linear tem solução.
Para resolver, vamos utilizar conceitos de álgebra linear relacionados a matrizes invertíveis e sistemas lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que se uma matriz quadrada
tem determinante diferente de zero (
), isso significa que
é invertível. Uma matriz invertível tem algumas propriedades importantes:
-
Núcleo de
: O núcleo (ou espaço nulo) de uma matriz , denotado por , é o conjunto de todos os vetores tais que . Se é invertível, o único vetor no núcleo é o vetor zero, ou seja, . -
Solução de Sistemas Lineares: Se
é invertível, então para todo vetor , o sistema possui uma única solução, que pode ser encontrada usando a matriz inversa (ou seja, ).
Passo 3
Vamos analisar cada afirmação:
-
Afirmação I: Diz que o núcleo de
é diferente de . Como vimos, se é invertível ( ), o núcleo de é exatamente . Portanto, a afirmação I é falsa. -
Afirmação II: Afirma que para todo
, o sistema tem solução. Sabemos que se é invertível, então para qualquer , existe uma única solução . Logo, a afirmação II é verdadeira.
Resposta
(B) Apenas II é verdadeira.