Seja A uma matriz quadrada n times n com det A neq 0. Considere as afirmativas abaixo:
I - O núcleo de A é diferente de 0.
II - Para todo b o sistema linear A x=b possui solução.
(A) Apenas I é verdadeira.
(B) Apenas II é verdadeira.
© Todas são verdadeiras.
(D) Todas são falsas.
(E) Não sei

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma matriz quadrada de ordem com determinante diferente de zero ( ). Precisamos analisar duas afirmações sobre :
  1. I - O núcleo (ou espaço nulo) de é diferente de apenas o vetor zero.
  2. II - Para todo vetor , o sistema linear tem solução.
Para resolver, vamos utilizar conceitos de álgebra linear relacionados a matrizes invertíveis e sistemas lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que se uma matriz quadrada tem determinante diferente de zero ( ), isso significa que é invertível. Uma matriz invertível tem algumas propriedades importantes:
  • Núcleo de : O núcleo (ou espaço nulo) de uma matriz , denotado por , é o conjunto de todos os vetores tais que . Se é invertível, o único vetor no núcleo é o vetor zero, ou seja, .
  • Solução de Sistemas Lineares: Se é invertível, então para todo vetor , o sistema possui uma única solução, que pode ser encontrada usando a matriz inversa (ou seja, ).

Passo 3

Vamos analisar cada afirmação:
  • Afirmação I: Diz que o núcleo de é diferente de . Como vimos, se é invertível ( ), o núcleo de é exatamente . Portanto, a afirmação I é falsa.
  • Afirmação II: Afirma que para todo , o sistema tem solução. Sabemos que se é invertível, então para qualquer , existe uma única solução . Logo, a afirmação II é verdadeira.

Resposta

(B) Apenas II é verdadeira.

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