Considere a sequência formada pela lei de recorrência
. Se
, para que valor de
temos
?
Dica: defina
e note que
Portanto
.
(A) 2
(B) 8
© 5
(D) 6
(E) 9
(F) 4
(G) 7
(H) 3
(I) Não sei
Dica: defina
(A) 2
(B) 8
© 5
(D) 6
(E) 9
(F) 4
(G) 7
(H) 3
(I) Não sei
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma sequência definida pela relação de recorrência
com
. A pergunta é para encontrar o valor de
que faz com que, conforme
vai aumentando, o termo
chegue a zero. Para resolver isso, vamos usar conceitos de matrizes e autovalores, que nos ajudam a entender o comportamento das sequências desse tipo.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a relação de recorrência de forma matricial. Definimos um vetor
. A relação dada pode ser expressa como:
Isso significa que cada vetor
é obtido multiplicando uma matriz pelas componentes anteriores.
Passo 3
Para que a sequência
tenda a zero quando
vai para o infinito, precisamos que os autovalores da matriz
tenham módulos menores que 1. Isso garante que, ao aplicar a matriz repetidamente, os termos vão diminuindo.
Vamos encontrar os autovalores
resolvendo o determinante:
Isso resulta em:
Resolvendo a equação quadrática, encontramos os autovalores:
Então, temos:
Passo 4
Observamos que um dos autovalores,
, tem módulo maior que 1, o que normalmente indicaria que a sequência não tende a zero. Porém, para que a sequência realmente tenda a zero, precisamos que o componente associado a esse autovalor seja nulo. Isso ocorre se o vetor inicial
for um múltiplo do autovetor correspondente a
.
Isso significa que
deve estar alinhado com o autovetor de
. Vamos encontrar esse autovetor.
Resolvendo
:
Simplificando:
Da primeira equação:
.
Então, o autovetor pode ser
.
Passo 5
Agora, sabemos que
deve ser um múltiplo de
para que a parte com
não contribua (ou seja, tenha coeficiente zero).
Então:
Comparando as componentes:
Resposta
C) 5