Considere a sequência formada pela lei de recorrência xn+2=-3 xn+283 xn+1, n=1,2,3, ldots. Se x1=15, para que valor de x2 temos lim n infty xn=0 ?
Dica: defina vn=[cxn xn+1] e note que
vn+1=[rr 0 & 1 -3 & 28 / 3 ] vn para n=1,2,3, ldots
Portanto vn+1=[rr0 & 1 -3 & 28 / 3]^n v1.
(A) 2
(B) 8
© 5
(D) 6
(E) 9
(F) 4
(G) 7
(H) 3
(I) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma sequência definida pela relação de recorrência com . A pergunta é para encontrar o valor de que faz com que, conforme vai aumentando, o termo chegue a zero. Para resolver isso, vamos usar conceitos de matrizes e autovalores, que nos ajudam a entender o comportamento das sequências desse tipo.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a relação de recorrência de forma matricial. Definimos um vetor xn xn+1 . A relação dada pode ser expressa como:
vn+1 = 0 & 1 -3 & 283 vn
Isso significa que cada vetor é obtido multiplicando uma matriz pelas componentes anteriores.

Passo 3

Para que a sequência 0 & 1 -3 & 283 tenda a zero quando det( 0 & 1 -3 & 283 - lambda 1 & 0 0 & 1 ) = 0 vai para o infinito, precisamos que os autovalores da matriz det -lambda & 1 -3 & 283 - lambda = lambda^2 - 283lambda + 3 = 0 tenham módulos menores que 1. Isso garante que, ao aplicar a matriz repetidamente, os termos vão diminuindo.
Vamos encontrar os autovalores lambda = 283 pm raiz(283)^2 - 122 = 283 pm raiz7849 - 10892 = 283 pm raiz67692 = 283 pm 2632 resolvendo o determinante:
lambda1 = 28 + 266 = 546 = 9 e lambda2 = 28 - 266 = 26 = 13
Isso resulta em:
Resolvendo a equação quadrática, encontramos os autovalores:
Então, temos:

Passo 4

Observamos que um dos autovalores, -13 & 1 -3 & 283 - 13 v1 v2 = 0 0 , tem módulo maior que 1, o que normalmente indicaria que a sequência não tende a zero. Porém, para que a sequência realmente tenda a zero, precisamos que o componente associado a esse autovalor seja nulo. Isso ocorre se o vetor inicial -13 & 1 -3 & 9 v1 v2 = 0 0 for um múltiplo do autovetor correspondente a 3 1 .
Isso significa que deve estar alinhado com o autovetor de . Vamos encontrar esse autovetor.
Resolvendo :
Simplificando:
Da primeira equação: .
Então, o autovetor pode ser .

Passo 5

Agora, sabemos que x1 x2 deve ser um múltiplo de 15 x2 para que a parte com 3 1 não contribua (ou seja, tenha coeficiente zero).
Então:
15 x2 = k 3 1
Comparando as componentes:
15 = 3k implies k = 5
x2 = 1 cdot k = 5

Resposta

C) 5

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