Sabemos que existe P inversível tal que:
[rrr 1 & -3 & -3 5 & -3 & -9 -1 & -1 & 1 ]=P[rrr -2 & 0 & 0 0 & a & 0 0 & 0 & b ] P^-1 com a
A 3a coluna da matriz P é múltipla de:
(A) [r-1 * 2]
(B) [r-1 * 1]
© [r-1 * 0]
(D) [r-1 * -1]
(E) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão tá pedindo. A gente tem uma matriz que pode ser escrita como , onde é uma matriz diagonal com os valores , e (sabendo que ). A nossa missão é descobrir qual vetor a terceira coluna da matriz é múltiplo. Para isso, vamos precisar entender sobre autovalores, autovetores e diagonalização de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz . Os autovalores são os valores que satisfazem a equação característica , onde é a matriz identidade.
No entanto, já sabemos que os autovalores são , e , e que . Então, nosso próximo passo é encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.

Passo 3

Vamos focar no autovalor , já que ele é o maior (porque ). Queremos achar um autovetor associado a . Isto é, resolver a equação , onde é o autovetor.
Essa equação nos dará um sistema linear que podemos resolver para encontrar os componentes de .

Passo 4

Ao resolver o sistema v = -1 * 2 , encontramos que o autovetor correspondente a tem a forma:
O “*” representa um valor que não é necessário para determinar a resposta que a questão pede, que é a forma do vetor.

Passo 5

Agora, como a terceira coluna da matriz -1 * 2 é múltipla do autovetor que encontramos, ela deve ser um múltiplo de:
Isso corresponde à alternativa (A).

Resposta

(A) r-1 * 2

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