Beleza, vamos resumir o que a questão tá pedindo. A gente tem uma matriz que pode ser escrita como , onde é uma matriz diagonal com os valores , e (sabendo que ). A nossa missão é descobrir qual vetor a terceira coluna da matriz é múltiplo. Para isso, vamos precisar entender sobre autovalores, autovetores e diagonalização de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz . Os autovalores são os valores que satisfazem a equação característica , onde é a matriz identidade.
No entanto, já sabemos que os autovalores são , e , e que . Então, nosso próximo passo é encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Passo 3
Vamos focar no autovalor , já que ele é o maior (porque ). Queremos achar um autovetor associado a . Isto é, resolver a equação , onde é o autovetor.
Essa equação nos dará um sistema linear que podemos resolver para encontrar os componentes de .
Passo 4
Ao resolver o sistema v = -1 * 2 , encontramos que o autovetor correspondente a tem a forma:
O “*” representa um valor que não é necessário para determinar a resposta que a questão pede, que é a forma do vetor.
Passo 5
Agora, como a terceira coluna da matriz -1 * 2 é múltipla do autovetor que encontramos, ela deve ser um múltiplo de: