Calcule o determinante da matriz
Dica: Use algoritmo de cálculo do determinante via escalonamento.
(A) -23
(B) -26
© -24
(D) -29
(E) -28
(F) -22
(G) -27
(H) -25
(I) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos calcular o determinante dessa matriz 5x5 que você me passou. A matéria que estamos lidando aqui é Álgebra Linear, especificamente o cálculo de determinantes usando o método de escalonamento (também conhecido como eliminação de Gauss). Para resolver isso, vamos precisar aplicar operações de linha para transformar a matriz em uma matriz triangular superior, onde os elementos abaixo da diagonal principal são zeros. Depois disso, o determinante será o produto dos elementos da diagonal principal.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz original:
Nosso objetivo é obter zeros abaixo da diagonal principal.

Passo 3

Observamos que o primeiro elemento da primeira linha é zero, o que complica um pouco. Então, vamos trocar a primeira linha com a segunda linha para facilitar os cálculos:

Passo 4

Agora, vamos eliminar os elementos abaixo do primeiro pivô (1 na posição (1,1)) usando operações de linha:
  • Linha 3 = Linha 3 - 2 × Linha 1
  • Linha 4 = Linha 4 - 2 × Linha 1
  • Linha 5 = Linha 5 - 2 × Linha 1
Após essas operações, a matriz fica:

Passo 5

Agora, focamos no segundo pivô, que está na posição (2,2) com valor 3. Vamos eliminar os elementos abaixo desse pivô:
  • Linha 3 = Linha 3 - Linha 2
  • Linha 4 = Linha 4 + Linha 2
  • Linha 5 = Linha 5 + Linha 2
Após essas operações:

Passo 6

Agora, observamos que o terceiro pivô é -2 na posição (3,3). Vamos eliminar os elementos abaixo desse pivô:
  • Linha 4 permanece como está (já está com zero abaixo)
  • Linha 5 = Linha 5 - (0) × Linha 3 (nenhuma mudança necessária)
A matriz já está quase triangular superior:

Passo 7

Finalmente, eliminamos o elemento na posição (5,4):
  • Linha 5 = Linha 5 - 2 × Linha 4
Isso resulta na matriz triangular superior:

Passo 8

Agora que temos uma matriz triangular superior, o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal:

Resposta

O determinante da matriz é 24. No entanto, nenhuma das alternativas apresentadas corresponde a esse valor. Pode ter havido um erro na transcrição da matriz ou das opções.

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Seja uma matriz quadrada com . Considere as afirmativas abaixo:
I - O conjunto de linhas de é linearmente independente.
II - não é injetiva.
(A) Todas são verdadeiras.
(B) Apenas II é verdadeira.
© Apenas I é verdadeira.
(D) Todas são falsas.
(E) Não sei