Sabendo que u+v+w=0, mostre que u times v=v times w=w times u.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que mostrar que, se u + v + w = 0, então u times v = v times w = w times u. Vamos usar conceitos de álgebra vetorial, como soma de vetores e produto vetorial (ou produto cruzado).

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa u + v + w = 0. Isso quer dizer que a soma dos três vetores resulta no vetor nulo. Podemos reorganizar essa equação para uma das variáveis. Por exemplo:
w = -(u + v)

Passo 3

Agora que isolamos w, vamos usar essa expressão para substituir w nas expressões do produto vetorial que queremos mostrar iguais. Primeiro, vamos calcular v times w:
v times w = v times ( -(u + v) )

Passo 4

Distribuindo o produto cruzado, lembrando que ele é distributivo em relação à adição e que a times b = - (b times a), temos:
v times w = -v times u - v times v
Sabemos que o produto cruzado de um vetor com ele mesmo é o vetor nulo, ou seja, v times v = 0. Então:
v times w = -v times u
E como -v times u = u times v, temos:
v times w = u times v

Passo 5

Agora, vamos mostrar que w times u também é igual a u times v. Usando a expressão de w novamente:
w times u = ( -(u + v) ) times u
Distribuindo o produto cruzado:
w times u = -u times u - v times u
Como u times u = 0:
w times u = -v times u = u times v

Resposta

Portanto, mostramos que u times v = v times w = w times u.

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