Sabendo que
, mostre que
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que mostrar que, se
, então
. Vamos usar conceitos de álgebra vetorial, como soma de vetores e produto vetorial (ou produto cruzado).
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Isso quer dizer que a soma dos três vetores resulta no vetor nulo. Podemos reorganizar essa equação para uma das variáveis. Por exemplo:
Passo 3
Agora que isolamos
, vamos usar essa expressão para substituir
nas expressões do produto vetorial que queremos mostrar iguais. Primeiro, vamos calcular
:
Passo 4
Distribuindo o produto cruzado, lembrando que ele é distributivo em relação à adição e que
, temos:
Sabemos que o produto cruzado de um vetor com ele mesmo é o vetor nulo, ou seja,
. Então:
E como
, temos:
Passo 5
Agora, vamos mostrar que
também é igual a
. Usando a expressão de
novamente:
Distribuindo o produto cruzado:
Como
:
Resposta
Portanto, mostramos que
.