Identifique o tipo de seção cônica e encontre os principais elementos de cada uma delas (vértices, assíntotas, focos, centros). Faça o esboço de cada uma.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação do segundo grau:
. O objetivo aqui é identificar que tipo de cônica essa equação representa e encontrar seus principais elementos, como vértices, focos, etc. Para isso, vamos precisar lembrar como completar o quadrado e identificar os coeficientes que definem cada tipo de cônica.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação agrupando os termos de
e de
:
Agora, vamos completar o quadrado para os termos de
e de
.
Passo 3
Para completar o quadrado em
:
- Pegamos os coeficientes:
. - Metade do coeficiente de
é 1, e . - Então, adicionamos e subtraímos 1:
Para
, temos
. Primeiro, fatoramos o 3:
Agora, completamos o quadrado dentro do parêntese:
- Metade de 4 é 2, e
. - Adicionamos e subtraímos 4:
Passo 4
Substituindo de volta na equação original:
Simplificando:
Dividindo tudo por 3 para colocar na forma padrão:
Passo 5
Agora, identificamos que essa é a equação de uma elipse, pois os coeficientes de
e
são positivos e diferentes.
Os principais elementos são:
- Centro:
- Eixos:
- Eixo maior no eixo
com semi-eixo - Eixo menor no eixo
com semi-eixo
- Eixo maior no eixo
- Vértices:
-
e
-
- Focos:
- Distância
- Focos em
e
- Distância
Resposta
A equação
representa uma elipse com centro em
, vértices em
, e focos em
.