Identifique o tipo de seção cônica e encontre os principais elementos de cada uma delas (vértices, assíntotas, focos, centros). Faça o esboço de cada uma.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação do segundo grau: . O objetivo aqui é identificar que tipo de cônica essa equação representa e encontrar seus principais elementos, como vértices, focos, etc. Para isso, vamos precisar lembrar como completar o quadrado e identificar os coeficientes que definem cada tipo de cônica.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação agrupando os termos de e de :
Agora, vamos completar o quadrado para os termos de e de .
Passo 3
Para completar o quadrado em :
Pegamos os coeficientes: .
Metade do coeficiente de é 1, e .
Então, adicionamos e subtraímos 1:
Para , temos . Primeiro, fatoramos o 3:
Agora, completamos o quadrado dentro do parêntese:
Metade de 4 é 2, e .
Adicionamos e subtraímos 4:
Passo 4
Substituindo de volta na equação original:
Simplificando:
Dividindo tudo por 3 para colocar na forma padrão:
Passo 5
Agora, identificamos que essa é a equação de uma elipse, pois os coeficientes de e são positivos e diferentes.
Os principais elementos são:
Centro:
Eixos:
Eixo maior no eixo com semi-eixo
Eixo menor no eixo com semi-eixo
Vértices:
e
Focos:
Distância
Focos em e
Resposta
A equação representa uma elipse com centro em , vértices em , e focos em .