Identifique o tipo de seção cônica e encontre os principais elementos de cada uma delas (vértices, assíntotas, focos, centros). Faça o esboço de cada uma. x^2+3 y^2+2 x-12 y+10=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação do segundo grau: . O objetivo aqui é identificar que tipo de cônica essa equação representa e encontrar seus principais elementos, como vértices, focos, etc. Para isso, vamos precisar lembrar como completar o quadrado e identificar os coeficientes que definem cada tipo de cônica.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação agrupando os termos de x^2 + 2x + 3y^2 - 12y = -10 e de :
Agora, vamos completar o quadrado para os termos de e de .

Passo 3

Para completar o quadrado em (x^2 + 2x + 1) - 1 = (x + 1)^2 - 1 :
  • Pegamos os coeficientes: 3(y^2 - 4y) .
  • Metade do coeficiente de 3((y^2 - 4y + 4) - 4) = 3(y - 2)^2 - 12 é 1, e .
  • Então, adicionamos e subtraímos 1:
Para , temos . Primeiro, fatoramos o 3:
Agora, completamos o quadrado dentro do parêntese:
  • Metade de 4 é 2, e .
  • Adicionamos e subtraímos 4:

Passo 4

Substituindo de volta na equação original:
(x + 1)^2 - 1 + 3(y - 2)^2 - 12 = -10
Simplificando:
(x + 1)^2 + 3(y - 2)^2 - 13 = -10
(x + 1)^2 + 3(y - 2)^2 = 3
Dividindo tudo por 3 para colocar na forma padrão:
(x + 1)^23 + (y - 2)^21 = 1

Passo 5

Agora, identificamos que essa é a equação de uma elipse, pois os coeficientes de e são positivos e diferentes.
Os principais elementos são:
  • Centro:
  • Eixos:
    • Eixo maior no eixo com semi-eixo
    • Eixo menor no eixo com semi-eixo
  • Vértices:
    • e
  • Focos:
    • Distância
    • Focos em e

Resposta

A equação representa uma elipse com centro em , vértices em , e focos em .

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