Calcule o determinante da matriz
[rrrrr 0 & 3 & 3 & 3 & 3 1 & 1 & 1 & 1 & 1 2 & -1 & -3 & 1 & -2 1 & 4 & 4 & 6 & 2 1 & -2 & -2 & -1 & -4 ]
Dica: Use algoritmo de cálculo do determinante via escalonamento.

Passo 1

Beleza, vamos calcular o determinante dessa matriz 5x5 que você me deu. Isso está relacionado à Álgebra Linear, especificamente no cálculo de determinantes. Para resolver, vamos usar o método de escalonamento, que envolve transformar a matriz em uma forma triangular e depois multiplicar os elementos da diagonal principal.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz que vamos trabalhar:
0 & 3 & 3 & 3 & 3 1 & 1 & 1 & 1 & 1 2 & -1 & -3 & 1 & -2 1 & 4 & 4 & 6 & 2 1 & -2 & -2 & -1 & -4

Passo 3

O próximo passo é transformar essa matriz em uma matriz triangular superior. Isso significa que queremos ter zeros abaixo da diagonal principal. Para isso, vamos usar operações de linha, que são trocas de linhas, multiplicações de uma linha por um número diferente de zero, e adições/subtrações de múltiplos de uma linha a outra.

Passo 4

Começamos com a primeira coluna. Perceba que o elemento (1,1) é 0, o que não é ideal. Então, vamos trocar a primeira linha com a segunda linha para que tenhamos um 1 na posição (1,1).
Após a troca:
1 & 1 & 1 & 1 & 1 0 & 3 & 3 & 3 & 3 2 & -1 & -3 & 1 & -2 1 & 4 & 4 & 6 & 2 1 & -2 & -2 & -1 & -4

Passo 5

Agora, vamos eliminar os elementos abaixo do (1,1). Para isso:
  • Linha 3: Subtrair 2 vezes a Linha 1 da Linha 3.
  • Linha 4: Subtrair 1 vez a Linha 1 da Linha 4.
  • Linha 5: Subtrair 1 vez a Linha 1 da Linha 5.
Vamos fazer essas operações:
Linha 3: 1 & 1 & 1 & 1 & 1 0 & 3 & 3 & 3 & 3 0 & -3 & -5 & -1 & -4 0 & 3 & 3 & 5 & 1 0 & -3 & -3 & -2 & -5 , , , ,
Linha 4: , , , ,
Linha 5: , , , ,
A matriz fica assim:

Passo 6

Agora, vamos para a segunda coluna. O elemento (2,2) já é 3, o que está bom. Precisamos eliminar os elementos abaixo dele na mesma coluna.
  • Linha 3: Adicionar 1 vez a Linha 2 à Linha 3.
  • Linha 4: Subtrair 1 vez a Linha 2 da Linha 4.
  • Linha 5: Adicionar 1 vez a Linha 2 à Linha 5.
Vamos realizar essas operações:
Linha 3: 1 & 1 & 1 & 1 & 1 0 & 3 & 3 & 3 & 3 0 & 0 & -2 & 2 & -1 0 & 0 & 0 & 2 & -2 0 & 0 & 0 & 1 & -2 , , , ,
Linha 4: , , , ,
Linha 5: , , , ,
A matriz agora é:

Passo 7

Seguimos para a terceira coluna. O elemento (3,3) é -2. Vamos usar esse para eliminar os elementos abaixo dele na mesma coluna.
  • Linha 4: Não há nada para eliminar abaixo, pois já temos um 0.
  • Linha 5: Já está com 0 na terceira coluna.
Então, não precisamos fazer mais operações nessa coluna.

Passo 8

Agora, vamos para a quarta coluna. O elemento (4,4) é 2. Vamos eliminar o elemento abaixo dele.
  • Linha 5: Subtrair 0.5 vezes a Linha 4 da Linha 5.
Calculando:
Linha 5: 1 & 1 & 1 & 1 & 1 0 & 3 & 3 & 3 & 3 0 & 0 & -2 & 2 & -1 0 & 0 & 0 & 2 & -2 0 & 0 & 0 & 0 & -1 ,
A matriz fica assim:

Passo 9

Agora que a matriz está em forma triangular superior, o determinante dela é o produto dos elementos da diagonal principal. Vamos multiplicar os valores:
1 times 3 times (-2) times 2 times (-1) = 1 times 3 = 3 3 times (-2) = -6 -6 times 2 = -12 -12 times (-1) = 12

Resposta

O determinante da matriz é 12.

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(A) -8
(B) -14
© -10
(D) -9
(E) -12
(F) -13
(G) -15
(H) -11
(I) Não sei
(B) -12
© -16
(D) -15
(E) -17
(F) -10
(G) -14
(H) -13
(I) Não sei
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