Seja A uma matriz quadrada n times n com det A=0. Considere as afirmativas abaixo:
I - A dimensão do núcleo de A é >0.
II - O conjunto de colunas de A é linearmente dependente.
(A) Apenas I é verdadeira.
(B) Todas são verdadeiras.
© Todas são falsas.
(D) Apenas II é verdadeira.

Passo 1

Beleza! Vamos analisar o problema juntos. Temos uma matriz quadrada de ordem com determinante igual a zero, ou seja, . O conteúdo aqui envolve álgebra linear, especificamente espaços vetoriais, núcleo (ou kernel) e dependência linear. Para resolver, a gente vai precisar entender o que significa o determinante ser zero, como isso afeta o núcleo da matriz e as colunas da matriz serem dependentes ou independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o determinante. Quando , isso significa que a matriz não é inversível. Em termos de espaços vetoriais, isso quer dizer que existe pelo menos um vetor não nulo que, quando multiplicado por , dá o vetor zero. Esse conjunto de vetores é chamado de núcleo de .

Passo 3

Agora, sobre o núcleo. A dimensão do núcleo de é chamada de nulidade de . Se , então a nulidade é pelo menos 1, ou seja, a dimensão do núcleo é maior que zero. Então, a afirmação I está verdadeira.

Passo 4

Vamos para a segunda afirmação sobre o conjunto de colunas de . Se o determinante é zero, isso implica que as colunas de não são todas linearmente independentes; elas são linearmente dependentes. Isso ocorre porque, se fossem independentes, o determinante não seria zero. Então, a afirmação II também está verdadeira.

Passo 5

Agora, vamos revisar as afirmações:
  • I - Verdadeira: A dimensão do núcleo de é .
  • II - Verdadeira: O conjunto de colunas de é linearmente dependente.
Portanto, ambas as afirmações são verdadeiras.

Resposta

A alternativa correta é (B) Todas são verdadeiras.

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