Beleza! Vamos analisar o problema juntos. Temos uma matriz quadrada de ordem com determinante igual a zero, ou seja, . O conteúdo aqui envolve álgebra linear, especificamente espaços vetoriais, núcleo (ou kernel) e dependência linear. Para resolver, a gente vai precisar entender o que significa o determinante ser zero, como isso afeta o núcleo da matriz e as colunas da matriz serem dependentes ou independentes.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o determinante. Quando , isso significa que a matriz não é inversível. Em termos de espaços vetoriais, isso quer dizer que existe pelo menos um vetor não nulo que, quando multiplicado por , dá o vetor zero. Esse conjunto de vetores é chamado de núcleo de .
Passo 3
Agora, sobre o núcleo. A dimensão do núcleo de é chamada de nulidade de . Se , então a nulidade é pelo menos 1, ou seja, a dimensão do núcleo é maior que zero. Então, a afirmação I está verdadeira.
Passo 4
Vamos para a segunda afirmação sobre o conjunto de colunas de . Se o determinante é zero, isso implica que as colunas de não são todas linearmente independentes; elas são linearmente dependentes. Isso ocorre porque, se fossem independentes, o determinante não seria zero. Então, a afirmação II também está verdadeira.
Passo 5
Agora, vamos revisar as afirmações:
I - Verdadeira: A dimensão do núcleo de é .
II - Verdadeira: O conjunto de colunas de é linearmente dependente.
Portanto, ambas as afirmações são verdadeiras.
Resposta
A alternativa correta é (B) Todas são verdadeiras.