Seja
uma matriz quadrada
. Considere as afirmativas abaixo:
I - A dimensão do núcleo de
é
.
II - O conjunto de colunas de
é linearmente dependente.
(A) Apenas I é verdadeira.
(B) Todas são verdadeiras.
© Todas são falsas.
(D) Apenas II é verdadeira.
I - A dimensão do núcleo de
II - O conjunto de colunas de
(A) Apenas I é verdadeira.
(B) Todas são verdadeiras.
© Todas são falsas.
(D) Apenas II é verdadeira.
Passo 1
Beleza! Vamos analisar o problema juntos. Temos uma matriz quadrada
de ordem
com determinante igual a zero, ou seja,
. O conteúdo aqui envolve álgebra linear, especificamente espaços vetoriais, núcleo (ou kernel) e dependência linear. Para resolver, a gente vai precisar entender o que significa o determinante ser zero, como isso afeta o núcleo da matriz e as colunas da matriz serem dependentes ou independentes.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o determinante. Quando
, isso significa que a matriz
não é inversível. Em termos de espaços vetoriais, isso quer dizer que existe pelo menos um vetor não nulo que, quando multiplicado por
, dá o vetor zero. Esse conjunto de vetores é chamado de núcleo de
.
Passo 3
Agora, sobre o núcleo. A dimensão do núcleo de
é chamada de nulidade de
. Se
, então a nulidade é pelo menos 1, ou seja, a dimensão do núcleo é maior que zero. Então, a afirmação I está verdadeira.
Passo 4
Vamos para a segunda afirmação sobre o conjunto de colunas de
. Se o determinante é zero, isso implica que as colunas de
não são todas linearmente independentes; elas são linearmente dependentes. Isso ocorre porque, se fossem independentes, o determinante não seria zero. Então, a afirmação II também está verdadeira.
Passo 5
Agora, vamos revisar as afirmações:
- I - Verdadeira: A dimensão do núcleo de
é . - II - Verdadeira: O conjunto de colunas de
é linearmente dependente.
Portanto, ambas as afirmações são verdadeiras.
Resposta
A alternativa correta é (B) Todas são verdadeiras.