Verifique em cada caso a seguir, se o conjunto é um subespaço vetorial do espaço vetorial . e .
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o problema está pedindo. Temos um espaço vetorial S = a & b 0 & 0 g| a, b in R , que é o conjunto de todas as matrizes com entradas reais, ou seja, . O conjunto é formado por todas as matrizes dessa forma:
Queremos verificar se é um subespaço vetorial de . Para isso, vamos precisar revisar o que define um subespaço vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um subconjunto de um espaço vetorial é considerado um subespaço vetorial se ele satisfaz três condições:
Contém o vetor zero: O elemento neutro do espaço vetorial deve estar em .
Fechado sob adição: Se você pegar quaisquer dois vetores (ou matrizes, no nosso caso) em e somá-los, o resultado também deve estar em .
Fechado sob multiplicação por escalar: Se você multiplicar qualquer vetor em por um escalar (um número real, aqui), o resultado também deve estar em .
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto .
Passo 3
1. O vetor zero está em 0 = 0 & 0 0 & 0 :
O vetor zero no espaço 0 & 0 0 & 0 in S é a matriz:
Observando a definição de , se escolhermos e , temos:
Portanto, contém o vetor zero.
Passo 4
2. Fechado sob adição:
Vamos pegar duas matrizes quaisquer em A = a1 & b1 0 & 0 , B = a2 & b2 0 & 0 :
Como e são números reais, também pertence a . Portanto, é fechado sob adição.
Passo 5
3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar uma matriz qualquer em c cdot A = c cdot a & b 0 & 0 = c cdot a & c cdot b 0 cdot c & 0 cdot c = c a & c b 0 & 0 e multiplicá-la por um escalar :
Como e são números reais, também pertence a . Portanto, é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Sim, o conjunto é um subespaço vetorial do espaço .