Vamos resumir o que a questão está pedindo e identificar o conteúdo que vamos usar. Temos duas matrizes, e . As colunas de são formadas pelos vetores . A matriz tem colunas que são combinações lineares dessas mesmas colunas de . Sabemos que o determinante de é . Nosso objetivo é encontrar o determinante de , . Para isso, vamos usar o conceito de determinantes e como eles se comportam quando uma matriz é transformada por combinações lineares de suas colunas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a matriz está relacionada com a matriz . Cada coluna de é uma combinação linear das colunas de . Isso significa que podemos escrever como multiplicada por uma outra matriz , onde contém os coeficientes dessas combinações.
Passo 3
Vamos montar a matriz com base nas combinações dadas:
Aqui, cada coluna de C representa os coeficientes usados para formar as colunas de B a partir de A.
Passo 4
Sabemos que o determinante de uma matriz resultante da multiplicação de duas matrizes é igual ao produto dos determinantes das matrizes envolvidas. Ou seja:
det(B) = det(A) times det(C)
Já que det(A) = -1, precisamos calcular det(C).
Passo 5
Vamos calcular o determinante da matriz C:
det(C) = 4 times (4 times 3 - 5 times 3) - 6 times (5 times 3 - 6 times 3) + 4 times (5 times 5 - 4 times 6)
det(C) = 4 times (12 - 15) - 6 times (15 - 18) + 4 times (25 - 24)
det(C) = 4 times (-3) - 6 times (-3) + 4 times (1)
det(C) = -12 + 18 + 4 = 10
Passo 6
Agora que temos det(C) = 10, podemos encontrar det(B):