Considere A uma matriz cujas colunas são formadas pelos vetores a1, a2, a3 in R^3. Seja B uma matriz cujas colunas b1, b2, b3 satisfazem: b1=4 a1+5 a2+6 a3, b2=6 a1+4 a2+5 a3 e b3=4 a1+3 a2+3 a3.
Sabendo que det(A)=-1, assinale o valor do det(B) :
(A) -8
(B) -14
© -10
(D) -9
(E) -12
(F) -13
(G) -15
(H) -11
(I) Não sei
(B) -12
© -16
(D) -15
(E) -17
(F) -10
(G) -14
(H) -13
(I) Não sei

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo e identificar o conteúdo que vamos usar. Temos duas matrizes, A e B. As colunas de A são formadas pelos vetores a1, a2, a3 in R^3. A matriz B tem colunas que são combinações lineares dessas mesmas colunas de A. Sabemos que o determinante de A é -1. Nosso objetivo é encontrar o determinante de B, det(B). Para isso, vamos usar o conceito de determinantes e como eles se comportam quando uma matriz é transformada por combinações lineares de suas colunas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a matriz B está relacionada com a matriz A. Cada coluna de B é uma combinação linear das colunas de A. Isso significa que podemos escrever B como A multiplicada por uma outra matriz C, onde C contém os coeficientes dessas combinações.

Passo 3

Vamos montar a matriz C com base nas combinações dadas:
C = 4 & 6 & 4 5 & 4 & 3 6 & 5 & 3
Aqui, cada coluna de C representa os coeficientes usados para formar as colunas de B a partir de A.

Passo 4

Sabemos que o determinante de uma matriz resultante da multiplicação de duas matrizes é igual ao produto dos determinantes das matrizes envolvidas. Ou seja:
det(B) = det(A) times det(C)
Já que det(A) = -1, precisamos calcular det(C).

Passo 5

Vamos calcular o determinante da matriz C:
det(C) = 4 times (4 times 3 - 5 times 3) - 6 times (5 times 3 - 6 times 3) + 4 times (5 times 5 - 4 times 6)
det(C) = 4 times (12 - 15) - 6 times (15 - 18) + 4 times (25 - 24)
det(C) = 4 times (-3) - 6 times (-3) + 4 times (1)
det(C) = -12 + 18 + 4 = 10

Passo 6

Agora que temos det(C) = 10, podemos encontrar det(B):
det(B) = det(A) times det(C) = -1 times 10 = -10

Resposta

det(B) = -10

Exercícios relacionados