Dados os pontos A=(1,0,2) e B=(2,3,5), determinar o ponto P tal que A P= P B.

Passo 1

Beleza! Temos os pontos e . A gente precisa achar o ponto tal que o vetor seja igual ao vetor . Isso tá ligado a vetores e geometria analítica. Vamos precisar trabalhar com as coordenadas dos pontos para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que isso significa. Se , então o ponto está exatamente no meio do caminho entre e . Basicamente, é o ponto médio do segmento . Mas vamos provar isso com os cálculos.

Passo 3

Vamos chamar as coordenadas de de . A gente precisa descobrir os valores de , e .

Passo 4

Vamos calcular os vetores:
  • O vetor AP = (x - 1, y - 0, z - 2) = (x - 1, y, z - 2) é dado por:
PB = (2 - x, 3 - y, 5 - z)
  • O vetor (x - 1, y, z - 2) = (2 - x, 3 - y, 5 - z) é dado por:
Segundo o problema, . Então, igualamos as componentes dos vetores:

Passo 5

Agora, vamos resolver cada uma das equações resultantes:
  1. Para a componente x - 1 = 2 - x Rightarrow 2x = 3 Rightarrow x = 32 :
y = 3 - y Rightarrow 2y = 3 Rightarrow y = 32
  1. Para a componente z - 2 = 5 - z Rightarrow 2z = 7 Rightarrow z = 72 :
  1. Para a componente :

Resposta

Então, o ponto é .

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