Calcule o determinante da matriz
Dica: Use algoritmo de cálculo do determinante via escalonamento.
(A) -22
(B) -18
© -17
(D) -21
(E) -16
(F) -19
(G) -20
(H) -15
(I) Não sei

Passo 1

Vamos calcular o determinante de uma matriz 5x5 usando o método de escalonamento. Para isso, precisamos realizar operações nas linhas da matriz para transformá-la em uma matriz triangular, onde todos os elementos abaixo da diagonal principal são zeros. As operações permitidas são: trocar linhas, multiplicar uma linha por um número diferente de zero e somar múltiplos de uma linha a outra. No final, o determinante será o produto dos elementos da diagonal principal, ajustado pelas mudanças feitas durante as operações.

Passo 2

Primeiro, observamos a matriz inicial:
Perceba que o primeiro elemento da primeira linha é zero. Para facilitar o cálculo, vamos trocar a primeira linha com a segunda linha, já que a segunda linha começa com 1.

Passo 3

Após trocar a primeira e a segunda linha, a matriz fica:
Lembrando que trocar duas linhas muda o sinal do determinante. Agora, o determinante será multiplicado por -1 ao final.

Passo 4

Vamos zerar os elementos abaixo do primeiro pivô (1 na posição (1,1)). Para isso:
  • Linha 3 = Linha 3 + Linha 1:
  • Linha 4 = Linha 4 - Linha 1:
  • Linha 5 = Linha 5 - Linha 1:
A matriz atualizada:

Passo 5

Agora, focamos no segundo pivô, que é 3 na posição (2,2). Vamos zerar os elementos abaixo desse pivô:
  • Linha 3 = Linha 3 + 2 * Linha 2:
  • Linha 4 = Linha 4 - 2 * Linha 2:
  • Linha 5 = Linha 5 - Linha 2:
A matriz atualizada:

Passo 6

Focamos no terceiro pivô, que é -2 na posição (3,3). Vamos zerar os elementos abaixo desse pivô:
  • Linha 4 = Linha 4 + (1/ -2) * Linha 3:
  • Linha 5 = Linha 5 + (0/-2) * Linha 3: permanece a mesma
    A matriz atualizada:

Passo 7

Agora, o quarto pivô é 1 na posição (4,4). Vamos zerar o elemento abaixo dele:
  • Linha 5 = Linha 5 - Linha 4:
A matriz final em forma triangular:

Passo 8

Calculamos o determinante multiplicando os elementos da diagonal principal e ajustando pelo sinal das trocas de linha:
Lembrando que trocamos uma vez as linhas, então:

Resposta

-22

Exercícios relacionados

Seja uma matriz cujos autovalores são 2 e -6 associados, respectivamente, a e .
Defina . A inversa de pode ser expressa como:
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(F)
(G) Não sei
Considere as afirmativas abaixo:
I - Se é uma projeção ortogonal em um plano do , então .
II - Se é uma projeção ortogonal em uma reta do , então .
(A) Apenas I é verdadeira.
(B) Apenas II é verdadeira.
© Todas são falsas.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Não sei
Os cidadãos de um determinado país estão em parte dentro das fronteiras do seu país e em parte espalhados pelo resto do mundo. O fluxo migratório desses cidadãos é modelado assim: a cada ano, dos que estão no país se mudam para o exterior, enquanto dos que estão no exterior retornam ao seu país. Mantendo-se esta tendência, qual será a percentagem dos cidadãos vivendo no país daqui a 30 anos? Assinale a abaixo a resposta que melhor aproxima esta percentagem.
Observações:
  • Nesta modelagem super-simplificada, não estão sendo considerados inúmeros outros fatores relevantes, como nascimentos, óbitos, naturalizações, dentre outros.
  • É interessante observar que a distribuição de longo prazo da população independe (praticamente) da distribuição inicial. Isto é uma característica de processos modelados por Cadeias de Markov (se tiver interesse, pesquise por este nome).
    (A)
    (B)
    ©
    (D)
    (E)
    (F)
    (G)
    (H)
    (I) Não sei
Determinar a dimensão e uma base para cada um dos seguintes espaços vetoriais: