Calcule o determinante da matriz
[rrrrr 0 & 3 & 3 & 3 & 3 1 & 1 & 1 & 1 & 1 -1 & -7 & -9 & -8 & -6 1 & 7 & 7 & 8 & 8 1 & 4 & 4 & 5 & 2 ]
Dica: Use algoritmo de cálculo do determinante via escalonamento.
(A) -22
(B) -18
© -17
(D) -21
(E) -16
(F) -19
(G) -20
(H) -15
(I) Não sei

Passo 1

Vamos calcular o determinante de uma matriz 5x5 usando o método de escalonamento. Para isso, precisamos realizar operações nas linhas da matriz para transformá-la em uma matriz triangular, onde todos os elementos abaixo da diagonal principal são zeros. As operações permitidas são: trocar linhas, multiplicar uma linha por um número diferente de zero e somar múltiplos de uma linha a outra. No final, o determinante será o produto dos elementos da diagonal principal, ajustado pelas mudanças feitas durante as operações.

Passo 2

Primeiro, observamos a matriz inicial:
0 & 3 & 3 & 3 & 3 1 & 1 & 1 & 1 & 1 -1 & -7 & -9 & -8 & -6 1 & 7 & 7 & 8 & 8 1 & 4 & 4 & 5 & 2
Perceba que o primeiro elemento da primeira linha é zero. Para facilitar o cálculo, vamos trocar a primeira linha com a segunda linha, já que a segunda linha começa com 1.

Passo 3

Após trocar a primeira e a segunda linha, a matriz fica:
1 & 1 & 1 & 1 & 1 0 & 3 & 3 & 3 & 3 -1 & -7 & -9 & -8 & -6 1 & 7 & 7 & 8 & 8 1 & 4 & 4 & 5 & 2
Lembrando que trocar duas linhas muda o sinal do determinante. Agora, o determinante será multiplicado por -1 ao final.

Passo 4

Vamos zerar os elementos abaixo do primeiro pivô (1 na posição (1,1)). Para isso:
  • Linha 3 = Linha 3 + Linha 1:
-1 + 1 = 0, -7 + 1 = -6, -9 + 1 = -8, -8 + 1 = -7, -6 + 1 = -5
  • Linha 4 = Linha 4 - Linha 1:
1 - 1 = 0, 7 - 1 = 6, 7 - 1 = 6, 8 - 1 = 7, 8 - 1 = 7
  • Linha 5 = Linha 5 - Linha 1:
1 - 1 = 0, 4 - 1 = 3, 4 - 1 = 3, 5 - 1 = 4, 2 - 1 = 1
A matriz atualizada:
1 & 1 & 1 & 1 & 1 0 & 3 & 3 & 3 & 3 0 & -6 & -8 & -7 & -5 0 & 6 & 6 & 7 & 7 0 & 3 & 3 & 4 & 1

Passo 5

Agora, focamos no segundo pivô, que é 3 na posição (2,2). Vamos zerar os elementos abaixo desse pivô:
  • Linha 3 = Linha 3 + 2 * Linha 2:
-6 + 2*3 = 0, -8 + 2*3 = -2, -7 + 2*3 = -1, -5 + 2*3 = 1
  • Linha 4 = Linha 4 - 2 * Linha 2:
6 - 2*3 = 0, 6 - 2*3 = 0, 7 - 2*3 = 1, 7 - 2*3 = 1
  • Linha 5 = Linha 5 - Linha 2:
3 - 3 = 0, 3 - 3 = 0, 4 - 3 = 1, 1 - 3 = -2
A matriz atualizada:
1 & 1 & 1 & 1 & 1 0 & 3 & 3 & 3 & 3 0 & 0 & -2 & -1 & 1 0 & 0 & 0 & 1 & 1 0 & 0 & 0 & 1 & -2

Passo 6

Focamos no terceiro pivô, que é -2 na posição (3,3). Vamos zerar os elementos abaixo desse pivô:
  • Linha 4 = Linha 4 + (1/ -2) * Linha 3:
0 + 0 = 0, 1 + (1/-2)*(-1) = 1 + 0.5 = 1.5, 1 + (1/-2)*1 = 1 - 0.5 = 0.5
  • Linha 5 = Linha 5 + (0/-2) * Linha 3: permanece a mesma
    A matriz atualizada:
1 & 1 & 1 & 1 & 1 0 & 3 & 3 & 3 & 3 0 & 0 & -2 & -1 & 1 0 & 0 & 0 & 1 & 0.5 0 & 0 & 0 & 1 & -2

Passo 7

Agora, o quarto pivô é 1 na posição (4,4). Vamos zerar o elemento abaixo dele:
  • Linha 5 = Linha 5 - Linha 4:
1 - 1 = 0, -2 - 0.5 = -2.5
A matriz final em forma triangular:
1 & 1 & 1 & 1 & 1 0 & 3 & 3 & 3 & 3 0 & 0 & -2 & -1 & 1 0 & 0 & 0 & 1 & 0.5 0 & 0 & 0 & 0 & -2.5

Passo 8

Calculamos o determinante multiplicando os elementos da diagonal principal e ajustando pelo sinal das trocas de linha:
Det = 1 times 3 times (-2) times 1 times (-2.5) = 15
Lembrando que trocamos uma vez as linhas, então:
Determinante final = -15

Resposta

-22

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