Vamos calcular o determinante de uma matriz 5x5 usando o método de escalonamento. Para isso, precisamos realizar operações nas linhas da matriz para transformá-la em uma matriz triangular, onde todos os elementos abaixo da diagonal principal são zeros. As operações permitidas são: trocar linhas, multiplicar uma linha por um número diferente de zero e somar múltiplos de uma linha a outra. No final, o determinante será o produto dos elementos da diagonal principal, ajustado pelas mudanças feitas durante as operações.
Passo 2
Primeiro, observamos a matriz inicial:
Perceba que o primeiro elemento da primeira linha é zero. Para facilitar o cálculo, vamos trocar a primeira linha com a segunda linha, já que a segunda linha começa com 1.
Passo 3
Após trocar a primeira e a segunda linha, a matriz fica:
Lembrando que trocar duas linhas muda o sinal do determinante. Agora, o determinante será multiplicado por -1 ao final.
Passo 4
Vamos zerar os elementos abaixo do primeiro pivô (1 na posição (1,1)). Para isso:
Linha 3 = Linha 3 + Linha 1:
Linha 4 = Linha 4 - Linha 1:
Linha 5 = Linha 5 - Linha 1:
A matriz atualizada:
Passo 5
Agora, focamos no segundo pivô, que é 3 na posição (2,2). Vamos zerar os elementos abaixo desse pivô:
Linha 3 = Linha 3 + 2 * Linha 2:
Linha 4 = Linha 4 - 2 * Linha 2:
Linha 5 = Linha 5 - Linha 2:
A matriz atualizada:
Passo 6
Focamos no terceiro pivô, que é -2 na posição (3,3). Vamos zerar os elementos abaixo desse pivô:
Linha 4 = Linha 4 + (1/ -2) * Linha 3:
Linha 5 = Linha 5 + (0/-2) * Linha 3: permanece a mesma
A matriz atualizada:
Passo 7
Agora, o quarto pivô é 1 na posição (4,4). Vamos zerar o elemento abaixo dele:
Linha 5 = Linha 5 - Linha 4:
A matriz final em forma triangular:
Passo 8
Calculamos o determinante multiplicando os elementos da diagonal principal e ajustando pelo sinal das trocas de linha: