Seja uma matriz cujos autovalores são 2 e -6 associados, respectivamente, a e .
Defina . A inversa de pode ser expressa como:
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(F)
(G) Não sei

Passo 1

Então, a gente tem uma matriz de ordem que possui dois autovalores: 2 e -6. Esses autovalores estão ligados aos vetores próprios e , respectivamente. A gente precisa descobrir qual das alternativas mostra a inversa de usando a matriz , que é formada pelos vetores e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de autovalores, autovetores e a diagonalização de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que se uma matriz pode ser diagonalizada, ela pode ser escrita como:
Aqui, é a matriz dos autovetores de , ou seja, , e é a matriz diagonal com os autovalores na diagonal, então:

Passo 3

Agora, para encontrar a inversa de , usamos a propriedade de que:
Sabemos que a inversa de um produto de matrizes é o produto das inversas na ordem reversa, então:
Onde é simplesmente a matriz diagonal com os inversos dos autovalores:

Resposta

A alternativa correta é a ©

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Considere as afirmativas abaixo:
I - Se é uma projeção ortogonal em um plano do , então .
II - Se é uma projeção ortogonal em uma reta do , então .
(A) Apenas I é verdadeira.
(B) Apenas II é verdadeira.
© Todas são falsas.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Não sei
Determinar o valor de para que seja LI o conjunto:
.
Calcule o determinante da matriz
Dica: Use algoritmo de cálculo do determinante via escalonamento.
(A) -22
(B) -18
© -17
(D) -21
(E) -16
(F) -19
(G) -20
(H) -15
(I) Não sei
Os cidadãos de um determinado país estão em parte dentro das fronteiras do seu país e em parte espalhados pelo resto do mundo. O fluxo migratório desses cidadãos é modelado assim: a cada ano, dos que estão no país se mudam para o exterior, enquanto dos que estão no exterior retornam ao seu país. Mantendo-se esta tendência, qual será a percentagem dos cidadãos vivendo no país daqui a 30 anos? Assinale a abaixo a resposta que melhor aproxima esta percentagem.
Observações:
  • Nesta modelagem super-simplificada, não estão sendo considerados inúmeros outros fatores relevantes, como nascimentos, óbitos, naturalizações, dentre outros.
  • É interessante observar que a distribuição de longo prazo da população independe (praticamente) da distribuição inicial. Isto é uma característica de processos modelados por Cadeias de Markov (se tiver interesse, pesquise por este nome).
    (A)
    (B)
    ©
    (D)
    (E)
    (F)
    (G)
    (H)
    (I) Não sei