Seja A uma matriz 2 times 2 cujos autovalores são 2 e -6 associados, respectivamente, a v1 e v2.
Defina M=[llv1 & v2]. A inversa de A pode ser expressa como:
(A) A^-1=M^-1[rr-2 & 0 0 & 6] M
(B) A^-1=M[rr2 & 0 0 & -6] M^-1
© A^-1=M[rr12 & 0 0 & -16] M^-1
(D) A^-1=M^-1[rr2 & 0 0 & -6] M
(E) A^-1=M[rr-2 & 0 0 & 6] M^-1
(F) A^-1=M^-1[rr12 & 0 0 & -16] M
(G) Não sei

Passo 1

Então, a gente tem uma matriz de ordem que possui dois autovalores: 2 e -6. Esses autovalores estão ligados aos vetores próprios e , respectivamente. A gente precisa descobrir qual das alternativas mostra a inversa de usando a matriz , que é formada pelos vetores e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de autovalores, autovetores e a diagonalização de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que se uma matriz A = M Lambda M^-1 pode ser diagonalizada, ela pode ser escrita como:
v1 & v2
Aqui, Lambda = 2 & 0 0 & -6 é a matriz dos autovetores de , ou seja, , e é a matriz diagonal com os autovalores na diagonal, então:

Passo 3

Agora, para encontrar a inversa de A^-1 = (M Lambda M^-1)^-1 , usamos a propriedade de que:
A^-1 = M Lambda^-1 M^-1
Sabemos que a inversa de um produto de matrizes é o produto das inversas na ordem reversa, então:
Lambda^-1 = 12 & 0 0 & -16
Onde é simplesmente a matriz diagonal com os inversos dos autovalores:

Resposta

A alternativa correta é a ©
A^-1 = M 12 & 0 0 & -16 M^-1

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