Então, a gente tem uma matriz de ordem que possui dois autovalores: 2 e -6. Esses autovalores estão ligados aos vetores próprios e , respectivamente. A gente precisa descobrir qual das alternativas mostra a inversa de usando a matriz , que é formada pelos vetores e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de autovalores, autovetores e a diagonalização de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que se uma matriz pode ser diagonalizada, ela pode ser escrita como:
Aqui, é a matriz dos autovetores de , ou seja, , e é a matriz diagonal com os autovalores na diagonal, então:
Passo 3
Agora, para encontrar a inversa de , usamos a propriedade de que:
Sabemos que a inversa de um produto de matrizes é o produto das inversas na ordem reversa, então:
Onde é simplesmente a matriz diagonal com os inversos dos autovalores: