Seja
uma matriz
cujos autovalores são 2 e -6 associados, respectivamente, a
e
.
Defina
. A inversa de
pode ser expressa como:
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(F)
(G) Não sei
Defina
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(F)
(G) Não sei
Passo 1
Então, a gente tem uma matriz
de ordem
que possui dois autovalores: 2 e -6. Esses autovalores estão ligados aos vetores próprios
e
, respectivamente. A gente precisa descobrir qual das alternativas mostra a inversa de
usando a matriz
, que é formada pelos vetores
e
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de autovalores, autovetores e a diagonalização de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que se uma matriz
pode ser diagonalizada, ela pode ser escrita como:
Aqui,
é a matriz dos autovetores de
, ou seja,
, e
é a matriz diagonal com os autovalores na diagonal, então:
Passo 3
Agora, para encontrar a inversa de
, usamos a propriedade de que:
Sabemos que a inversa de um produto de matrizes é o produto das inversas na ordem reversa, então:
Onde
é simplesmente a matriz diagonal com os inversos dos autovalores:
Resposta
A alternativa correta é a ©