Determinar a dimensão e uma base para cada um dos seguintes espaços vetoriais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a dimensão e uma base para o espaço vetorial definido por todos os pares em onde . Isso está dentro do estudo de espaços vetoriais na Álgebra Linear. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma base e dimensão de um espaço vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma base de um espaço vetorial. Uma base é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço vetorial. Ou seja, qualquer vetor do espaço pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores da base.
Passo 3
Agora, vamos analisar o espaço . Isso significa que todos os vetores nesse espaço têm a forma , onde é um número real. Podemos reescrever esse vetor como . Isso mostra que todo vetor nesse espaço é um múltiplo escalar do vetor .
Passo 4
Como todo vetor no espaço pode ser escrito como um múltiplo de , isso significa que é suficiente para gerar todo o espaço. Além disso, não temos outro vetor necessário, já que um único vetor não nulo é sempre linearmente independente. Portanto, a base desse espaço vetorial é o conjunto .
Passo 5
A dimensão de um espaço vetorial é o número de vetores na sua base. Como a base que encontramos tem apenas um vetor, a dimensão desse espaço é 1.
Resposta
A dimensão do espaço vetorial é 1 e uma base para ele é .