Determinar a dimensão e uma base para cada um dos seguintes espaços vetoriais:
(x, y) in R^2 ; y=x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a dimensão e uma base para o espaço vetorial definido por todos os pares (x, y) em R^2 onde y = x. Isso está dentro do estudo de espaços vetoriais na Álgebra Linear. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma base e dimensão de um espaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma base de um espaço vetorial. Uma base é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço vetorial. Ou seja, qualquer vetor do espaço pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores da base.

Passo 3

Agora, vamos analisar o espaço (x, y) in R^2 ; y = x. Isso significa que todos os vetores nesse espaço têm a forma (x, x), onde x é um número real. Podemos reescrever esse vetor como x cdot (1, 1). Isso mostra que todo vetor nesse espaço é um múltiplo escalar do vetor (1, 1).

Passo 4

Como todo vetor no espaço pode ser escrito como um múltiplo de (1, 1), isso significa que (1, 1) é suficiente para gerar todo o espaço. Além disso, não temos outro vetor necessário, já que um único vetor não nulo é sempre linearmente independente. Portanto, a base desse espaço vetorial é o conjunto (1, 1).

Passo 5

A dimensão de um espaço vetorial é o número de vetores na sua base. Como a base que encontramos tem apenas um vetor, a dimensão desse espaço é 1.

Resposta

A dimensão do espaço vetorial é 1 e uma base para ele é , (1, 1) ,.

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