Determinar a dimensão e uma base para cada um dos seguintes espaços vetoriais:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a dimensão e uma base para o espaço vetorial definido por todos os pares em onde . Isso está dentro do estudo de espaços vetoriais na Álgebra Linear. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma base e dimensão de um espaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma base de um espaço vetorial. Uma base é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço vetorial. Ou seja, qualquer vetor do espaço pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores da base.

Passo 3

Agora, vamos analisar o espaço . Isso significa que todos os vetores nesse espaço têm a forma , onde é um número real. Podemos reescrever esse vetor como . Isso mostra que todo vetor nesse espaço é um múltiplo escalar do vetor .

Passo 4

Como todo vetor no espaço pode ser escrito como um múltiplo de , isso significa que é suficiente para gerar todo o espaço. Além disso, não temos outro vetor necessário, já que um único vetor não nulo é sempre linearmente independente. Portanto, a base desse espaço vetorial é o conjunto .

Passo 5

A dimensão de um espaço vetorial é o número de vetores na sua base. Como a base que encontramos tem apenas um vetor, a dimensão desse espaço é 1.

Resposta

A dimensão do espaço vetorial é 1 e uma base para ele é .

Exercícios relacionados

Os cidadãos de um determinado país estão em parte dentro das fronteiras do seu país e em parte espalhados pelo resto do mundo. O fluxo migratório desses cidadãos é modelado assim: a cada ano, dos que estão no país se mudam para o exterior, enquanto dos que estão no exterior retornam ao seu país. Mantendo-se esta tendência, qual será a percentagem dos cidadãos vivendo no país daqui a 30 anos? Assinale a abaixo a resposta que melhor aproxima esta percentagem.
Observações:
  • Nesta modelagem super-simplificada, não estão sendo considerados inúmeros outros fatores relevantes, como nascimentos, óbitos, naturalizações, dentre outros.
  • É interessante observar que a distribuição de longo prazo da população independe (praticamente) da distribuição inicial. Isto é uma característica de processos modelados por Cadeias de Markov (se tiver interesse, pesquise por este nome).
    (A)
    (B)
    ©
    (D)
    (E)
    (F)
    (G)
    (H)
    (I) Não sei
Calcule o determinante da matriz
Dica: Use algoritmo de cálculo do determinante via escalonamento.
(A) -22
(B) -18
© -17
(D) -21
(E) -16
(F) -19
(G) -20
(H) -15
(I) Não sei
Calcule o polinômio característico da matriz abaixo:
Dica: explore a estrutura em blocos da matriz.
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
(I) Não sei
( ) Se o conjunto de vetores de um espaço vetorial é linearmente independente então o conjunto é linearmente independente.
( ) Os conjuntos e geram o mesmo subespaço vetorial do .
( ) O conjunto é irracional é um subespaço vetorial de .
Escolha uma opção:a. F-V-Vb. V-F-Vc. V-F-Fd. F-V-Fe. F-F-Vf. V-V-F