Considere as afirmativas abaixo:
I - Se P é uma projeção ortogonal em um plano do R^3, então det(P-I)=0.
II - Se T é uma projeção ortogonal em uma reta do R^3, então det(T+3 I)=0.
(A) Apenas I é verdadeira.
(B) Apenas II é verdadeira.
© Todas são falsas.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Não sei

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos duas afirmações sobre projeções ortogonais em , que é o espaço tridimensional. Precisamos verificar se cada afirmação é verdadeira ou falsa usando conceitos de matrizes de projeção e determinantes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma projeção ortogonal. Uma projeção ortogonal em um espaço vetorial projeta qualquer vetor desse espaço em uma subespacial, de forma que a diferença entre o vetor original e seu projeta está perpendicular à subespacial. No caso, temos duas situações:
  • Projeção em um plano ( )
  • Projeção em uma reta ( )

Passo 3

Vamos analisar a afirmação I:
“Se det(P - I) = 0 times 0 times (-1) = 0 é uma projeção ortogonal em um plano do , então .”
Para uma projeção em um plano, a matriz tem rank 2, o que significa que há duas dimensões que são preservadas. Os autovalores de serão:
  • 1 (com multiplicidade 2) para as direções no plano.
  • 0 (com multiplicidade 1) para a direção perpendicular ao plano.
Então, terá os autovalores:
  • (com multiplicidade 2)
  • (com multiplicidade 1)
O determinante de uma matriz é o produto de seus autovalores. Assim:
Portanto, a afirmação I é verdadeira.

Passo 4

Agora, vamos analisar a afirmação II:
“Se det(T + 3I) = 4 times 3 times 3 = 36 é uma projeção ortogonal em uma reta do , então .”
Para uma projeção em uma reta, a matriz tem rank 1, o que significa que apenas uma dimensão é preservada. Os autovalores de serão:
  • 1 (com multiplicidade 1) para a direção da reta.
  • 0 (com multiplicidade 2) para as direções perpendiculares à reta.
Então, terá os autovalores:
  • (com multiplicidade 1)
  • (com multiplicidade 2)
Calculando o determinante:
Como , a afirmação II é falsa.

Resposta

A correta é a opção A) Apenas I é verdadeira.

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