Considere as afirmativas abaixo:
I - Se
é uma projeção ortogonal em um plano do
, então
.
II - Se
é uma projeção ortogonal em uma reta do
, então
.
(A) Apenas I é verdadeira.
(B) Apenas II é verdadeira.
© Todas são falsas.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Não sei
I - Se
II - Se
(A) Apenas I é verdadeira.
(B) Apenas II é verdadeira.
© Todas são falsas.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Não sei
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos duas afirmações sobre projeções ortogonais em
, que é o espaço tridimensional. Precisamos verificar se cada afirmação é verdadeira ou falsa usando conceitos de matrizes de projeção e determinantes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma projeção ortogonal. Uma projeção ortogonal em um espaço vetorial projeta qualquer vetor desse espaço em uma subespacial, de forma que a diferença entre o vetor original e seu projeta está perpendicular à subespacial. No caso, temos duas situações:
- Projeção em um plano (
) - Projeção em uma reta (
)
Passo 3
Vamos analisar a afirmação I:
“Se é uma projeção ortogonal em um plano do
, então
.”
“Se
Para uma projeção em um plano, a matriz
tem rank 2, o que significa que há duas dimensões que são preservadas. Os autovalores de
serão:
- 1 (com multiplicidade 2) para as direções no plano.
- 0 (com multiplicidade 1) para a direção perpendicular ao plano.
Então,
terá os autovalores:
-
(com multiplicidade 2) -
(com multiplicidade 1)
O determinante de uma matriz é o produto de seus autovalores. Assim:
Portanto, a afirmação I é verdadeira.
Passo 4
Agora, vamos analisar a afirmação II:
“Se é uma projeção ortogonal em uma reta do
, então
.”
“Se
Para uma projeção em uma reta, a matriz
tem rank 1, o que significa que apenas uma dimensão é preservada. Os autovalores de
serão:
- 1 (com multiplicidade 1) para a direção da reta.
- 0 (com multiplicidade 2) para as direções perpendiculares à reta.
Então,
terá os autovalores:
-
(com multiplicidade 1) -
(com multiplicidade 2)
Calculando o determinante:
Como
, a afirmação II é falsa.
Resposta
A correta é a opção A) Apenas I é verdadeira.